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Contents
Reihen und uneigentliche Integrale
Grundlegende Definitionen
Reihen über und uneigentlich Integrale auf .
Reihen über und uneigentliche Integrale auf .
Einige Beispiele.
Uneigentliche Integrale auf endlichem Integrationsbereich.
Der Cauchysche Hauptwert.
Wichtige Eigenschaften von Reihen und uneigentlichen Integralen
Das Cauchy-Kriterium.
Eine hinreichende Bedingung.
Die Linearität von Reihen und uneigentlichen Integralen.
Der Umordnungssatz. Summierung über allgemeine Indexmengen. Doppelreihen.
Die Monotonität.
Der Umordnungssatz.
Der Riemannsche Umordnungssatz.
Allgemeine Reihen mit nichtnegativen Gliedern
Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.
Doppelreihen.
Multiplikation von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.
Konvergenzkriterien für Reihen nichtnegativer Glieder und für uneigentliche Integrale nichtnegativer Funktionen
Das Vergleichskriterium.
Das Wurzelkriterium von Cauchy.
Das Quotientenkriterium von d'Alambert.
Das Integralkriterium von Cauchy.
Es gibt keine universelle Vergleichsfunktion.
Das Raabsche Kriterium
Das Kummersche Kriterium.
Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern in Limesform .
Der obere und der untere Grenzwert.
Das Vergleichskriterium in Limesform.
Das Wurzelkriterium in Limesform.
Das Quotientenkriterium in Limesform.
Absolute und bedingte Konvergenz
Definitionen.
Zum Zusammenhang zwischen absoluter und bedingter Konvergenz.
Weitere elementare Kriterien für absolute Konvergenz.
Der Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen.
Konvergenzkriterien für im Allgemeinen nicht absolut konvergente Folgen
Die Abelsche partielle Summation.
Das Abelsche Kriterium.
Das Kriterium von Dirichlet.
Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen
Das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale.
Unendliche Produkte
Definition.
Zusammenhang zwischen Reihen und unendlichen Produkten.
Die Summierung divergenter Reihen
Verallgemeinerte Summationsmethoden.
Die Potenzreihenmethode von Poisson und Abel.
Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro.
Funktionenfolgen und -reihen. Parameterabhängige Integrale.
Gleichmäßigkeit. Gleichmäßige Konvergenz.
Das Prinzip der Gleichmäßigkeit.
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.
Ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für gleichmäßigen Konvergenz.
Gleichmäßig stetige Funktionen.
Weitere Definitionen.
Das Vertauschen von Grenzwerten
Problemstellung.
Der Satz über das Vertauschen von Grenzwerten.
Zur Stetigkeit der Grenzfunktion von Funktionenfolgen. Das Vertauschen der Grenzwerte und .
Das Vertauschen der Grenzwerte und .
Zur Stetigkeit der Grenzfunktion.
Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von .
Funktionenreihen und Grenzwerte.
Zur Stetigkeit von Funktionenreihen.
Eine Anwendung.
Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Variablen. Das Vertauschen von und
Das Vertauschen von Grenzwert und Integral
Zur Integration von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen.
Zur Integration von Funktionenreihen.
Zum Vertauschen des Integralzeichens mit dem Grenzwert .
Das kartesische Produkt metrischer Räume.
Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen.
Zum Vertauschen von Grenzwert und Ableitung
Die Differentation von Grenzfunktionen einer Funktionenfolge.
Die Differentation von Funktionenreihen.
Das Vertauschen von Ableitung und .
Differenzieren und Integrieren von parameterabhängigen Integralen
Zur Differentation parameterabhängiger Integrale.
Die Integration parameterabhängiger Integrale.
Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Integralen mit parameterabhängigen Integrationsgrenzen
Zur Formulierung des Problems.
Zur Stetigkeit.
Zur Differenzierbarkeit.
Zum Vertauschen von Grenzwerten mit uneigentlichen Integralen
Zur Konvergenz von Folgen uneigentlicher Intergrale.
Reihen uneigentlicher Integrale.
Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Stetigkeit.
Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Differenzierbarkeit bezüglich des Parameters.
Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Integration bezüglich des Parameters.
Kriterien zur gleichmäßigen Konvergenz
Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Folgen.
Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Reihen.
Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz uneigentlicher Integrale.
Das Majorantenkriterium von Weierstrass.
Potenzreihen
Definition des Konvergenzkreises und der Konvergenzradiuses.
Der Satz von Cauchy und Hadamard.
Absolute und gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen.
Zur Differentation von Potenzreihen. Reelle Differenzierbarkeit.
Zur Differentation von Potenzreihen. Komplexe Differenzierbarkeit.
Die Taylorreihe.
Die Eulerschen Integrale
Die Betafunktion.
Wichtige Eigenschaften der Betafunktion.
Die Gammafunktion.
Der Zusammenhang zwischen der Beta- und der Gammafunktion.
Der Ergänzungssatz.
Der Verdoppelungssatz von Legendre.
Der Satz von Weierstrass und Stone
Die Formulierung des Satzes.
Zum Beweis von Satz 2.13.1.1.
Zur Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Endlich- und Unendlichdimensionale Vektorräume
Normierte Vektorräume.
Zur Dimension normierter Vektorräume.
Zur Äquivalenz von Normen im Fall von endlichen und unendlich vielen Dimensionen.
Kompaktheit in endlich- und unendlichdimensionalen Räumen.
Der Raum der stetigen linearen Operatoren
Lineare Operatoren.
Zur Stetigkeit linearer Operatoren.
Beschränkte lineare Operatoren.
Beispiele.
Der Raum der stetigen linearen Operatoren.
Kompositionen linearer stetiger Operatoren.
Die Frechet-Ableitung
Die Definition der Frechet-Ableitung.
Wichtige Eigenschaften der Frechet-Ableitung.
Beispiele.
Die Gateaux-Ableitung
Die Richtungsableitung.
Zum Zusammenhang zwischen Frechet- und Richtungsableitung.
Die schwache Ableitung.
Eine hinreichende Bedingung zur Existenz der Frechet- Ableitung.
Der Hauptsatz der Differentialrechnung
Das Lemma von Hahn und Banach.
Der Hauptsatz der Differentialrechnung.
Der Beweis von Satz 3.4.4.1.
Der Beweis von Satz 3.5.2.1.
2003-09-05