Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Differenzierbarkeit bezüglich des Parameters.

Satz 2.9.4.1   Die Funktion $f\in C([a,b]\times [0,+\infty [\, ,\mathbb{R})$ sei in allen Punkten $(x,y)\in ]a,b[\, \times [0,+\infty [$ partiell nach $x$ differenzierbar und $\frac{\partial f}{\partial x}$ stetig auf $[a,b]\times [0,+\infty [$ fortsetzbar. Für alle $x\in [a,b]$ konvergiere das uneigentliche Integral

$$J(x)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)dy$$

und desweiteren konvergiere das uneigentliche Integral

$$\int _{0}^{\infty }\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b].$$

Dann ist $J(x)$ in $]a,b[$ differenzierbar und es gilt

$$J^{\prime }(x)=\int _{0}^{\infty }\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy,\quad x\in ]a,b[.$$

$\blacktriangleright$ Es sei $R>0$. Dann sind für die Funktion

$$J_{R}(x)=\int _{0}^{R}f(x,y)dy$$

die Voraussetzungen von Satz 2.7.1.1 erfüllt und es gilt

$$J_{R}^{\prime }(x)=\int _{0}^{R}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy,\quad x\in [a,b]\, .$$

Es sei $R_{k}$ eine Folge positiver Zahlen mit der Eigenschaft $R_{k}\to \infty$ für $k\to \infty$. Wir setzen

$$f_{k}(x)=J_{R_{k}}(x),\quad f^{\prime }_{k}(x)=J_{R_{k}}^{\prime }(x),\quad k\in \mathbb{N},\quad x\in [a,b].$$

Dann konvergiert $J(x)=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\lim _{k\to \infty }J_{R_{k}}(x)$ und

$$\lim _{k\to \infty }f^{\prime }_{k}(x)=\lim _{k\to \infty }J_{R_{k}}^{\prime }(x)=\int _{0}^{\infty }\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy$$

konvergiert gleichmäßig bezüglich $x\in [a,b]$. Nach Satz 2.6.1.1 gilt

$$\int _{0}^{\infty }\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy=\lim _{k\... ...ac{d}{dx}\lim _{k\to \infty }J_{R_{k}}(x)=\frac{dJ(x)}{dx},\quad x\in ]a,b[\, .$$

$\blacktriangleleft$