Die Betafunktion.

Für $a,b>0$ ist die Betafunktion gegeben durch die Formel

$$B(a,b):=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx\, .$$ (2.12.1.1)

Für $a\geq 1$ und $b\geq 1$ ist der Integrand eine beschränkte Funktion und das obige Integral existiert im eigentlichen Sinn als Riemann-Integral. Für $0<a<1$ oder $0<b<1$ handelt es sich bei (2.12.1.1) um ein konvergentes uneigentliches Integral. Tatsächlich, es gilt

$$x^{a-1}(1-x)^{b-1}\leq 2^{b-1}x^{a-1} \quad \mbox {für}\quad 0\leq x\leq \frac{1}{2},$$

$$x^{a-1}(1-x)^{b-1}\leq 2^{a-1}(1-x)^{b-1} \quad \mbox {für}\quad \frac{1}{2}\leq x\leq 1.$$

Die uneigentlichen Integrale

$$\int _{0}^{1/2}x^{a-1}dx$$$$\quad \mbox {und}\quad \int _{1/2}^{1}(1-x)^{b-1}dx$$

konvergieren für $a,b>0$ und damit konvergiert nach dem Vergleichskriterium auch (2.12.1.1).