Das Vergleichskriterium in Limesform.

Satz 1.5.2.1   Es sei $a_{k}\geq 0$ und $b_{k}>0$ für $k\in \mathbb{N}$ und

$$\limsup _{k\to \infty }\frac{a_{k}}{b_{k}}<+\infty .$$

Dann folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ die Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und damit aus der Divergenz der Reihe Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ auch die Divergenz er Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$.

$\blacktriangleright$ Wegen $\limsup _{k\to \infty }\frac{a_{k}}{b_{k}}<+\infty$ ist die Folge $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ beschränkt, d.h. $a_{k}\leq Cb_{k}$ für $n\in \mathbb{N}$. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 1.4.1.1 erfüllt. $\blacktriangleleft$