Wichtige Eigenschaften der Betafunktion.

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(I) Die Betafunktion ist symmetrisch in den beiden Argumenten:

$$\qquad B(b,a) = \int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{a-1}dx\notag$$ (2.12.2.1)

$$(t=x-1)\quad = -\int _{1}^{0}(1-t)^{b-1}t^{a-1}dt=B(a,b).$$ (2.12.2.2)

(II) Es sei $b>1$. Dann gilt

$$B(a,b) = \int _{0}^{1}(1-x)^{b-1}\frac{1}{a}\frac{d(x^{a})}{dx}dx$$

$$= \left. a^{-1}x^{a}(1-x)^{b-1}\right\vert _{0}^{1}+\frac{b-1}{a}\int _{0}^{1}(1-x)^{b-2}x^{a}dx.$$

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Identität verschwindet. Setzt man in das Integral die Gleichung $x^{a}=x^{a-1}-x^{a-1}(1-x)$ ein, so erhält man

$$B(a,b) = \frac{b-1}{a}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-2}dx-\frac{b-1}{a}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$$

$$= \frac{b-1}{a}B(a,b-1)-\frac{b-1}{a}B(a,b).$$

Es folgt, daß

$$B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}B(a,b-1),\quad b>1,a>0,$$ (2.12.2.3)

und wegen der Symmetrie auch

$$B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}B(a-1,b),\quad a>1,b>0.$$ (2.12.2.4)

(III) Substituiert man $x=\frac{y}{1+y}$ in (2.12.1.1), so erhält man

$$B(a,b)=\int _{0}^{\infty }\frac{y^{a-1}}{(1+y)^{a-1}}\frac{1}{(1+y)^{b-1}}\frac{dy}{(1+y)^{2}}=\int _{0}^{\infty }\frac{y^{a-1}dy}{(1+y)^{a+b}}.$$

Für $b=1-a$ und $0<a<1$ ergibt dies die Formel

$$B(a,1-a)=\int _{0}^{\infty }\frac{y^{a-1}}{(1+y)}dy=\frac{\pi }{\sin a\pi }.$$ (2.12.2.5)

Aufgabe 2.12.2.1   Wir haben in diesem Punkt für gegebenenfalls uneigentliche Integrale bei der Substitution von Variablen und beim partiellen Integrieren formal genauso gerechnet wie mit eigentlichen Riemann-Integralen. Die Korrektheit dieses Vorgehens muß im einzelnen nachgeprüft werden. So muß z.B. die Rechnung für (2.12.2.1) im Fall $0<a,b<1$ detailiert wiefolgt aussehen

$$B(b,a) = \int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{a-1}dx$$

$$= \lim _{\varepsilon _{1}\to 0}\int _{\varepsilon _{1}}^{1/2}x^{b-1... ...im _{\varepsilon _{2}\to 0}\int _{1/2}^{1-\varepsilon _{2}}x^{b-1}(1-x)^{a-1}dx$$

$$= -\lim _{\varepsilon _{1}\to 0}\int _{1-\varepsilon _{1}}^{1/2}(1-... ...\lim _{\varepsilon _{2}\to 0}\int _{1/2}^{\varepsilon _{2}}(1-t)^{b-1}t^{a-1}dt$$

$$= -\int _{1}^{0}(1-t)^{b-1}t^{a-1}dt=B(a,b).$$

Verifizieren Sie auf gleichem Wege alle Rechnungen dieses und der folgenden Abschnitte, insbesondere die partiellen Integrationen, detailiert auf Korrektheit unter Berücksichtung der uneigentlichen Integrale!