Der Verdoppelungssatz von Legendre.

Es gilt

$$\Gamma (a)\Gamma (a+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2a-1}}\Gamma (2a),\quad a>0.$$ (2.12.6.1)

Dazu berechnen wir

$$B(a,a)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{a-1}dx = \int _{0}^{1}\left( \frac{1}{4}-\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}\right) ^{a-1}dx$$

$$= 2\int _{0}^{1/2}\left( \frac{1}{4}-\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}\right) ^{a-1}dx,$$

durch die Substitution $\frac{1}{2}-x=\frac{\sqrt{t}}{2}$

$$B(a,a) = 2\int _{1}^{0}\left( \frac{1}{4}-\frac{t}{4}\right) ^{a-1}d\left( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{t}}{2}\right)$$

$$= 2\cdot 4^{1-a}2^{-2}\int _{0}^{1}(1-t)^{a-1}t^{-1/2}dt=\frac{1}{2^{2a-1}}B\left( \frac{1}{2},a\right) .$$

Daraus folgt nach (2.12.4.5)

$$\frac{\Gamma (a)\Gamma (a)}{\Gamma (2a)}=B(a,a)=\frac{1}{2^{2a-1}... ...mma \left( \frac{1}{2}\right) \Gamma (a)}{\Gamma \left( \frac{1}{2}+a\right) }.$$

Wegen $\Gamma \left( \frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi }$ impliziert dies (2.12.6.1).