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Der Verdoppelungssatz von Legendre.

Es gilt

$\displaystyle \Gamma (a)\Gamma (a+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2a-1}}\Gamma (2a),\quad a>0.$ (2.12.6.1)

Dazu berechnen wir
$\displaystyle B(a,a)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{a-1}dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{0}^{1}\left( \frac{1}{4}-\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}\right) ^{a-1}dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int _{0}^{1/2}\left( \frac{1}{4}-\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}\right) ^{a-1}dx,$  

durch die Substitution $ \frac{1}{2}-x=\frac{\sqrt{t}}{2} $
$\displaystyle B(a,a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int _{1}^{0}\left( \frac{1}{4}-\frac{t}{4}\right) ^{a-1}d\left( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{t}}{2}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot 4^{1-a}2^{-2}\int _{0}^{1}(1-t)^{a-1}t^{-1/2}dt=\frac{1}{2^{2a-1}}B\left( \frac{1}{2},a\right) .$  

Daraus folgt nach (2.12.4.5)

$\displaystyle \frac{\Gamma (a)\Gamma (a)}{\Gamma (2a)}=B(a,a)=\frac{1}{2^{2a-1}...
...mma \left( \frac{1}{2}\right) \Gamma (a)}{\Gamma \left( \frac{1}{2}+a\right) }.$

Wegen $ \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi } $ impliziert dies (2.12.6.1).



2003-09-05