Zur Dimension normierter Vektorräume.

Eine endliche Familie von gegebenen Vektoren $x_{i}\in E$, $i=1,\dots ,n$ heißt linear unabhängig wenn die Identität

$$\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0,\quad \alpha _{k}\in \mathbb{K},\quad k=1,\dots ,n$$

ausschließlich für die Skalare

$$\alpha _{1}=\cdots =\alpha _{n}=0$$

erfüllt ist. Gibt es eine endliche größte Anzahl von linear unabhängigen Vektoren, die sich in einem linearen Vektorraum $E$ finden lassen, so nennt man diese Anzahl $\dim E$ die Dimension von $E$. Beispiele für endlichdimensionale Banachräume sind z.B. $\mathbb{R}^{n}$ o $\mathbb{C}^{n}$ mit der Euklidschen Norm $\parallel x\parallel =\left( \sum _{k=1}^{n}\vert x_{k}\vert^{2}\right) ^{1/2}$. Gibt es beliebig große Familien linear unabhängiger Vektoren aus $E$, so nennt man $E$ unendlichdimensional und schreibt $\dim E=\infty$.

Wir erinnern daran, daß $C([a,b],\mathbb{K})$ den Raum der stetigen $\mathbb{K}$-wertigen Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ bezeichnet. In Abschnitt 2.15 des Skriptes Analysis 1 haben wir gezeigt, daß $\parallel f\parallel _{C}=\max _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert$ eine Norm auf $C([a,b],\mathbb{R})$ definiert und daß $C([a,b],\mathbb{R})$ bezüglich dieser Norm vollständig ist.

Lemma 3.1.2.1   Es sei $a,b\in \mathbb{R}$ und $a<b$. Dann gilt $\dim C([a,b],\mathbb{R})=\infty$.

$\blacktriangleright$ Wir betrachten das Intervall $[a,b]=[0,1]$, der allgemeine Fall folgt dann durch eine affine Koordinatentransformation. Wir setzen $x_{n}=n^{-1}\in [0,1]$ für $n\in \mathbb{N}$. Wir betrachten folgende Funktionen

$$u_{k}(x)=0 \, \mbox {für}\, x\in [0,1]\setminus [x_{k+1},x_{k}],$$ (3.1.2.1)

$$u_{k}(x)=\sin \left( \frac{x_{k}-x}{x_{k}-x_{k+1}}\pi \right) \, \mbox {für}\, x\in [x_{k+1},x_{k}],\, k\in \mathbb{N}.$$ (3.1.2.2)

All diese Funktionen sind auf dem Intervall $[0,1]$ stetig als auch paarweise disjunkt getragen, d.h. $u_{k}u_{l}=0$ für $k\neq l$. Desweiteren gilt

$$u_{k}(x_{k}^{*})=1$$$$\quad \mbox {für}\quad x_{k}^{*}=\frac{x_{k}+x_{k+1}}{2},\quad k\in \mathbb{N}.$$

Deshalb nimmt eine jede Linearkombination

$$u(x)=\alpha _{k_{1}}u_{k_{1}}(x)+\cdots +\alpha _{k_{n}}u_{k_{n}}(x)$$

der Vektorenfamilie $\{u_{k_{j}}\}_{j=1}^{n}$ in den Punkten $x_{k_{j}}^{*}=\frac{x_{k_{j}}+x_{k_{j}+1}}{2}$ die Werte $u(x_{k_{j}}^{*})=\alpha _{k_{j}}$ an. Damit gilt $u(x)=0$ für alle $x\in [0,1]$, d.h. $u$ ist das Nullelement in $C([0,1],\mathbb{R})$, genau dann wenn $\alpha _{k_{j}}=0$ für $j=1,\dots n$. Damit ist eine beliebige Vektorenfamilie $\{u_{k_{j}}\}_{j=1}^{n}$ linear unabhängig; es gibt also beliebig viele linear unabhängige Vektoren in $C([0,1],\mathbb{R})$. $\blacktriangleleft$