Lineare Operatoren.

Es seien $E$ und $F$ lineare Vektorräume über $\mathbb{K}$ mit den Normen $\Vert \cdot \Vert _{A}$ und $\Vert \cdot \Vert _{B}$. Desweiteren sei $D_{T}$ eine lineare Teilmenge von $E$. Letzteres bedeutet, daß

$$x,y\in D_{T}$$$$\quad \mbox {und}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{K}\quad \mbox {impliziert}\quad \alpha x+\beta y\in D_{T}.$$

Insbesondere gilt immer $0\in D_{T}$.

Definition 3.2.1.1   Eine Abbildung $T:D_{T}\to F$ nennt man einen linearen Operator, wenn

$$T(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta Ty,\quad x,y\in D_{T},\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{K}$$

gilt.

Insbesondere gilt für jeden linearen Operator $T0=0$.^3.3