Doppelreihen.

Eine wichtige Anwendung von verallgemeinerten Reihen sind die sogennanten Doppelreihen. Sind $A$ und $B$ abzählbare Mengen, so ist auch das kartesische Produkt $A\times B$ abzählbar. Damit ist für $a:A\times B\to \mathbb{R}$ und $a_{\alpha ,\beta }=a(\alpha ,\beta )\geq 0$, $\alpha \in A$, $\beta \in B$, die Reihe

$$\sum _{(\alpha ,\beta )\in A\times B}a_{\alpha ,\beta }$$

wohldefiniert. Insbesondere kann man mit $A=\mathbb{Z}^{p-1}$ und $B=\mathbb{Z}$ iterativ Reihen über das Gitter $\mathbb{Z}^{p}$ definieren.

Eine Modifikation dieser Idee führt zu einer wichtigen Verallgemeinerung von Satz 1.3.5. Dazu betrachten wir eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen

$$\{A_{\beta }\}_{\beta \in B},$$$$\quad \mbox {card}(A_{\beta })=\aleph _{0},\quad \mbox {card}(B)=\aleph _{0},$$

welche paarweise disjunkt sind

$$A_{\beta _{1}}\cap A_{\beta _{2}}=\emptyset ,\quad \beta _{1}\neq \beta _{2},\quad \beta _{1},\beta _{2}\in B.$$

Wir setzen $C=\bigcup _{\beta \in B}A_{\beta }$. ^1.1Es sei $a:C\to \mathbb{R}$ mit $a_{\gamma }=a(\gamma )\geq 0$ für $\gamma \in C$. Dann gilt:

Satz 1.3.6.1   Die Reihe $\sum _{\gamma \in C}a_{\gamma }$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\sum _{\beta \in B}b_{\beta }$ mit $b_{\beta }=\sum _{\alpha \in A_{\beta }}a_{\alpha }$ konvergiert. Dabei gilt

$$\sum _{\gamma \in C}a_{\gamma }=\sum _{\beta \in B}\left( \sum _{\alpha \in A_{\beta }}a_{\alpha }\right) .$$

Führen Sie mit Hilfe bijektiver Abbildungen $\varphi _{\beta }:A_{\beta }\to \mathbb{N}\times \{\beta \}$ sowie $\psi :B\to \mathbb{N}$ den Beweis von Satz 1.3.6.1 auf folgende Aussage zurück:

Satz 1.3.6.2   Es sei $a_{k,m}\geq 0$ für $k,m\in \mathbb{N}$. Dann konvergieren die Reihen in der folgenden Identität gleichzeitig und es gilt

$$\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \m... ...}\right) =\sum _{m\in \mathbb{N}}\left( \sum _{k\in \mathbb{N}}a_{k,m}\right) .$$ (1.3.6.1)

$\blacktriangleright$ Wit nehmen zunächst an, daß die Reihe $\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}$ konvergiert. Wegen $\mathbb{N}\times \{m\}\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ konvergiert nach Satz 1.3.5.2 jede der Reihen $\sum _{k\in \mathbb{N}}a_{k,m}$. Da außerdem

$$\mathbb{N}\times \{1,\dots ,n\}=\bigcup _{m=1}^{n}\mathbb{N}\times \{m\}\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N},$$

so folgt mit Hilfe der vollständigen Induktion aus Satz 1.3.5

$$\sum _{m=1}^{n}\left( \sum _{k\in \... ...{N}}a_{k,m}\right) =\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \{1,\dots ,n\}}a_{k,m}\, ,$$

sowie nach Satz 1.3.5.2 desweiteren

$$\sum _{m=1}^{n}\left( \sum _{k\in \... ...q \sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}\, ,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Folglich konvergiert die Reihe auf der linken Seite und es gilt

$$\sum _{m\in \mathbb{N}}\left( \sum ... ...{N}}a_{k,m}\right) \leq \sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}\, .$$ (1.3.6.2)

Nach der Definition der Konvergenz verallgemeinerter Reihen gilt

$$S:=\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}=\sum _{j=1}^{\infty }a_{\eta ^{-1}(j)}$$

für eine Bijektion $\eta :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$. Für jedes $\varepsilon >0$ existiert damit ein $N_{\varepsilon }<\infty$, so daß

$$\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{\e... ...heta _{\varepsilon }\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}>S-\varepsilon .$$

Hier ist $\Theta _{\varepsilon }:=\eta ^{-1}(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\})$ eine endliche Menge. Es sei weiterhin

$$M_{\varepsilon } = \{m\in \mathbb{N}\vert\exists _{k\in \mathbb{N}}(k,m)\in \Theta _{\varepsilon }\}\subset \mathbb{N},$$

$$K_{\varepsilon } = \{k\in \mathbb{N}\vert\exists _{m\in \mathbb{N}}(k,m)\in \Theta _{\varepsilon }\}\subset \mathbb{N}.$$

Wegen $\Theta _{\varepsilon }\subset K_{\varepsilon }\times M_{\varepsilon }$ gilt für die (endlichen) Summen

$$S-\varepsilon <\sum _{(k,m)\in \Theta _{\varepsilon }}a_{k,m} \leq \sum _{(k,m)\in M_{\varepsilon }}a_{k,m}=\sum _{k\in K_{\varepsilon }}\left( \sum _{m\in M_{\varepsilon }}a_{k,m}\right) \notag$$ (1.3.6.3)

$$\leq \sum _{k\in K_{\varepsilon }}\left(... ...ght) \leq \sum _{k\in \mathbb{N}}\left( \sum _{m\in \mathbb{N}}a_{k,m}\right) .$$ (1.3.6.4)

Im Grenzwert $\varepsilon \to 0+0$ folgt

$$\sum _{m\in \mathbb{N}}\left( \sum ... ...{N}}a_{k,m}\right) \geq \sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}\, .$$ (1.3.6.5)

Aus (1.3.6.2) und (1.3.6.4) folgt die erste (und auf gleichem Wege auch die zweite) Identität in (1.3.6.1).

Zum Abschluß bleibt zu zeigen, daß aus der Konvergenz der Reihe $\sum _{k\in \mathbb{N}}\left( \sum _{m\in \mathbb{N}}a_{k,m}\right)$ auch die Konvergenz von $\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}$ folgt. Angenommen, die Reihe $\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}$ ist nicht konvergent. Dann divergiert diese bestimmt gegen $+\infty$ und für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $N_{\varepsilon }$ mit

$$\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{\e... ...\Theta _{\varepsilon }\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k,m}>\varepsilon .$$

Ebenso wie in (1.3.6.3) sieht man, daß

$$\varepsilon <\sum _{k\in \mathbb{N}}\left( \sum _{m\in \mathbb{N}}a_{k,m}\right)$$

und im Grenzwert $\varepsilon \to +\infty$ folgt die Divergenz von $\sum _{k\in \mathbb{N}}\left( \sum _{m\in \mathbb{N}}a_{k,m}\right)$. $\blacktriangleleft$