Die Differentation von Funktionenreihen.

Satz 2.6.2.1 Wir betrachten eine Folge von Funktionen
$% latex2html id marker 25771 $ f_{n}\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d}) $$ , $% latex2html id marker 25773 $ n\in \mathbb{N} $$ , so daß zum einen die Funktionenreihe

$\displaystyle S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ $% latex2html id marker 25776 $\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad x\in [a,b]$$

existiert und desweiteren die Reihe der Ableitungen

$\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f'_{n}(x)$ $% latex2html id marker 25779 $\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in [a,b]$$

konvergiert. Dann gilt $% latex2html id marker 25781 $ S\in C^{1}([a,b],\mathbb{K}^{d}) $$ und

$\displaystyle S'(x)=\frac{d}{dx}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{df_{n}(x)}{dx}=T(x)$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad x\in [a,b].$