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Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen.

Satz 2.5.5.1   Es sei $ (M_{1},d_{1}) $ ein metrischer Raum und $ X $ sei eine kompakte Teilmenge von $ M_{1} $. Desweiteren sei $ [a,b] $ ein endliches Teilintervall von % latex2html id marker 25634
$ \mathbb{R} $. Wir betrachten eine Funktion % latex2html id marker 25636
$ f\in C(X\times [a,b],\mathbb{K}^{d}) $ und das parameterabhängige Integral

$\displaystyle J(x)=\int _{a}^{b}f(x,y)dy.$

Dann ist % latex2html id marker 25640
$ J:X\to \mathbb{K}^{d} $ eine stetige Funktion.

$ \blacktriangleright $ Die Menge $ X\times [a,b] $ ist nach Satz 2.5.4.2 in % latex2html id marker 25647
$ M=M_{1}\times \mathbb{R} $ kompakt. Nach dem Satz von Cantor ist die Funktion % latex2html id marker 25649
$ f\in C(X\times [a,b],\mathbb{K}^{d}) $ gleichmäßig stetig, d.h.

$\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta (\varepsilon )>0}\foral...
...,b]}\forall _{(x',y')\in U_{\delta }(x,y)}f(x',y')\in U_{\varepsilon }(f(x,y)).$

Damit wird für jedes $ x^{*}\in$$ \mbox {acc}(X)\cap X $ der Grenzwert

$\displaystyle \varphi _{x^{*}}(y)=\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)$% latex2html id marker 25657
$\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [a,b]$

angenommen. Da für jedes $ x\in X $ ist die Funktion % latex2html id marker 25661
$ f(x,\cdot ):[a,b]\to \mathbb{K}^{d} $ stetig in $ y\in [a,b] $. Nach Satz 2.5.3.1 und der Stetigkeit von $ f(x,y) $ gilt
$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\int _{a}^{b}f(x,y)dy=\int _{a}^{b}\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{a}^{b}f(x^{*},y)dy=J(x^{*}).$  

Also ist die Funktion $ J $ stetig. $ \blacktriangleleft $



2003-09-05