Zur Stetigkeit von parameterabhängigen Integralen.

Satz 2.5.5.1   Es sei $(M_{1},d_{1})$ ein metrischer Raum und $X$ sei eine kompakte Teilmenge von $M_{1}$. Desweiteren sei $[a,b]$ ein endliches Teilintervall von $\mathbb{R}$. Wir betrachten eine Funktion $f\in C(X\times [a,b],\mathbb{K}^{d})$ und das parameterabhängige Integral

$$J(x)=\int _{a}^{b}f(x,y)dy.$$

Dann ist $J:X\to \mathbb{K}^{d}$ eine stetige Funktion.

$\blacktriangleright$ Die Menge $X\times [a,b]$ ist nach Satz 2.5.4.2 in $M=M_{1}\times \mathbb{R}$ kompakt. Nach dem Satz von Cantor ist die Funktion $f\in C(X\times [a,b],\mathbb{K}^{d})$ gleichmäßig stetig, d.h.

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta (\varepsilon )>0}\foral... ...,b]}\forall _{(x',y')\in U_{\delta }(x,y)}f(x',y')\in U_{\varepsilon }(f(x,y)).$$

Damit wird für jedes $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$ der Grenzwert

$$\varphi _{x^{*}}(y)=\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad y\in [a,b]$$

angenommen. Da für jedes $x\in X$ ist die Funktion $f(x,\cdot ):[a,b]\to \mathbb{K}^{d}$ stetig in $y\in [a,b]$. Nach Satz 2.5.3.1 und der Stetigkeit von $f(x,y)$ gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x) = \lim _{x\to x^{*}}\int _{a}^{b}f(x,y)dy=\int _{a}^{b}\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)dy$$

$$= \int _{a}^{b}f(x^{*},y)dy=J(x^{*}).$$

Also ist die Funktion $J$ stetig. $\blacktriangleleft$