Eine hinreichende Bedingung.

Es sei $a:\mathbb{N}\to \mathbb{K}^{p}$ eine Folge und die Funktion $f:[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{p}$ sei auf jedem Intervall $[0,c]$, $c>0$, integrierbar. Folgender Satz ist nützlich für die praktische Untersuchung der Konvergenz von Reihen und uneigentlichen Integralen:

Satz 1.2.2.1   Angenommen die Reihe $\sum _{k=k_{0}}^{\infty }a_{k}$ konvergiert für gewisses $k_{0}\in \mathbb{N}$, so konvergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Konvergiert das uneigentliche Integral $\int _{c}^{+\infty }f(x)dx$ für gewisses $c>0$, so konvergiert $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$.

$\blacktriangleright$ Wir beweisen den ersten Teil des Satzes. Dann gilt

$$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k} = \lim _{n\to \infty }\left( \sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\sum _{k=k_{0}}^{n}a_{k}\right)$$

$$= \sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\lim _{n\to \infty }\sum _{k=k_{0}}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\sum _{k=k_{0}}^{\infty }a_{k}.$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.2.2.2   Beweisen Sie den zweiten Teil dieser Aussage!