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Eine hinreichende Bedingung.

Es sei % latex2html id marker 21359
$ a:\mathbb{N}\to \mathbb{K}^{p} $ eine Folge und die Funktion % latex2html id marker 21361
$ f:[0,+\infty [\, \to \mathbb{K}^{p} $ sei auf jedem Intervall $ [0,c] $, $ c>0 $, integrierbar. Folgender Satz ist nützlich für die praktische Untersuchung der Konvergenz von Reihen und uneigentlichen Integralen:

Satz 1.2.2.1   Angenommen die Reihe $ \sum _{k=k_{0}}^{\infty }a_{k} $ konvergiert für gewisses % latex2html id marker 21375
$ k_{0}\in \mathbb{N} $, so konvergiert auch die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $.

Konvergiert das uneigentliche Integral $ \int _{c}^{+\infty }f(x)dx $ für gewisses $ c>0 $, so konvergiert $ \int _{0}^{\infty }f(x)dx $.

$ \blacktriangleright $ Wir beweisen den ersten Teil des Satzes. Dann gilt
$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left( \sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\sum _{k=k_{0}}^{n}a_{k}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\lim _{n\to \infty }\sum _{k=k_{0}}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{k_{0}-1}a_{k}+\sum _{k=k_{0}}^{\infty }a_{k}.$  

$ \blacktriangleleft $

Aufgabe 1.2.2.2   Beweisen Sie den zweiten Teil dieser Aussage!



2003-09-05