Zur Differentation von Potenzreihen. Reelle Differenzierbarkeit.

Lemma 2.11.4.1   Die Konvergenzradien der Potenzreihen $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}z^{k-1}$ stimmen überein.

$\blacktriangleright$ Das Lemma folgt direkt aus der Formel für den Konvergenzradius in Satz 2.11.2.1 sowie dem bekannten Grenzwert $\lim _{k\to \infty }k^{1/(k-1)}=1$. $\blacktriangleleft$

Als eine Folgerung aus diesem Lemma konvergieren beide Reihen

$$S(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$$$$\quad \mbox {und}\quad S_{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}z^{k-1},$$

falls deren Konvergenzradius $R$ nicht verschwindet, im Inneren ein und desselben Konvergenzkreises $U_{R}$ absolut als auch in $\overline{U_{R_{1}}}$ für beliebiges fixiertes $R_{1}<R$ gleichmäßig. Nach Einschränkung auf die reelle Achse folgt aus Satz 2.6.2.1 sofort, daß die Funktion $S(x)$ für $x\in ]-R,R[$ reell differenzierbar ist und

$$\frac{dS(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=\sum... ...rac{d}{dx}\left( a_{k}x^{k}\right) =\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}x^{k-1}=S_{1}(x)$$

für alle $x\in ]-R,R[\, =U_{R}\cap \mathbb{R}$ gilt. Damit kann man in diesem Intervall die Potenzreihe $S(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$ gliedweise reell differenzieren.

Das gleiche Argument kann man nun auf die Potenzreihe $S_{1}(x)=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}x^{k-1}$ anwenden. Da sich dabei der Konvergenzradius nicht verändert, so läßt sich diese Prozedur beliebig oft wiederholen. Damit ist die Funktion $S(x)$ beliebig oft in $x\in ]-R,R[$ differenzierbar und es gilt

$$\frac{d^{n}S(x)}{dx^{n}}=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}k(k-1)(k-n+1)x^{k-n},\quad x\in ]-R,R[,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Die Potenzreihen der höheren Ableitungen besitzten dabei alle den gleichen Konvergenzradius $R$.