Die schwache Ableitung.

Definition 3.4.3.1   Angenommen für die Funktion $f:U\to F$ existiert im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ die Richtungsableitung $Df(x_{0})[h]$ für alle $h\in E$. Ist desweiteren $Df(x_{0})[h]$ eine stetige lineare Abbildung im Argument $h,$ dann nennt man

$$f'_{s}(x_{0})=Df(x_{0})[\, \cdot \, ]\in \mathcal{L}(E,F)$$

die schwache Ableitung oder auch die Gateaux-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$.

Existiert die Frechet-Ableitung $f'(x_{0}),$ so existiert nach (3.4.2.1)

$$f'_{s}(x_{0})=Df(x_{0})[\, \cdot \, ]=f'(x_{0})\in \mathcal{L}(E,F),$$

d.h. die Funktion $f$ ist im Punkt $x_{0}$ Gateaux-differenzierbar. Umgekehrt folgt aus der Existenz der Gateaux-Ableitung $f'_{s}(x_{0})$ nicht die Existenz der Frechet-Ableitung, wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel 3.4.3.2   Wir betrachten die Funktion $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ gegeben durch

$$f(x)=\vert x_{1}x_{2}\vert^{1/4}e^{... ...{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\quad x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2},\quad x\neq 0=(0,0)$$

sowie $f(0)=0$. Es sei $x_{0}=0=(0,0)$. Für beliebiges $h=(h_{1},h_{2})\in \mathbb{R}^{2}$ gilt dann

$$\varphi _{h}(t)=f(th)=t^{1/2}\vert ... ...t(h_{1}^{2}+h_{2}^{2})}},\quad t\in \mathbb{R},\quad t\neq 0,\quad h\neq (0,0),$$

bzw. $\varphi _{h}(t)=f(0)=0$ für $t=0$ oder $h=(0,0)$ . Folglich gilt

$$Df(0)[h]=\lim _{t\to 0}t^{-1}\varphi _{h}(t)=0,\quad h\in E.$$

Damit ist

$$f'_{s}(0)=Df(0)[\, \cdot \, ]=\mathbb{O}\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})$$

der Nulloperator von $E=\mathbb{R}^{2}$ nach $F=\mathbb{R}$.

Ist die Funktion $f$ im Punkt $x_{0}=(0,0)$ Frechet-differenzierbar, so gilt $f'(0)=f'_{s}(0)=\mathbb{O}$ und damit

$$f(h)=f(0)+\mathbb{O}h+o(\parallel h\parallel )=o(\parallel h\parallel ),\quad h\to 0.$$ (3.4.3.1)

Wir betrachten nun die Folge $h^{(n)}=(h_{1}^{(n)},h_{2}^{(n)})$ gegeben durch

$$h_{1}^{(n)}=n^{-1}\cos \theta _{n},\quad h_{2}^{(n)}=n^{-1}\sin \theta _{n},\quad n\in \mathbb{N},$$

wobei die Werte $\theta _{n}\in [0,\pi /4]$ durch die Bedingung

$$\frac{1}{n^{2}}=\sin 2\theta _{n},\quad n\in \mathbb{N},$$

gegeben sind. Dann gilt $\Vert h^{(n)}\Vert =n^{-1}\to 0$ sowie

$$\vert h_{1}^{(n)}h_{2}^{(n)}\vert^{1/2} = \sqrt{n^{-2}\vert\cos \theta _{n}\sin \theta _{n}\vert}=n^{-1}\sqrt{2^{-1}\sin 2\theta _{n}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2}n^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}((h_{1}^{(n)})^{2}+(h_{2}^{(n)})^{2})$$

und folglich

$$f(h^{(n)})=\vert h_{1}^{(n)}h_{2}^{(n)}\vert^{1/4}e^{-1/\sqrt{2}}=cn^{-1}=c\Vert h^{(n)}\Vert ,\quad n\in \mathbb{N},$$

mit $c=2^{-1/4}e^{-1/\sqrt{2}}\neq 0$. Die letzte Gleichung widerspricht der asymptotischen Bedingung (3.4.3.1). Damit ist $f$ im Punkt $x_{0}=(0,0)$ nicht Frechet-differenzierbar.