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Die schwache Ableitung.

Definition 3.4.3.1   Angenommen für die Funktion $ f:U\to F $ existiert im Punkt $ x_{0}\in$$ \mbox {int}(U) $ die Richtungsableitung $ Df(x_{0})[h] $ für alle $ h\in E $. Ist desweiteren $ Df(x_{0})[h] $ eine stetige lineare Abbildung im Argument $ h, $ dann nennt man

% latex2html id marker 30815
$\displaystyle f'_{s}(x_{0})=Df(x_{0})[\, \cdot \, ]\in \mathcal{L}(E,F)$

die schwache Ableitung oder auch die Gateaux-Ableitung von $ f $ im Punkt $ x_{0} $.

Existiert die Frechet-Ableitung $ f'(x_{0}), $ so existiert nach (3.4.2.1)

% latex2html id marker 30825
$\displaystyle f'_{s}(x_{0})=Df(x_{0})[\, \cdot \, ]=f'(x_{0})\in \mathcal{L}(E,F),$

d.h. die Funktion $ f $ ist im Punkt $ x_{0} $ Gateaux-differenzierbar. Umgekehrt folgt aus der Existenz der Gateaux-Ableitung $ f'_{s}(x_{0}) $ nicht die Existenz der Frechet-Ableitung, wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel 3.4.3.2   Wir betrachten die Funktion % latex2html id marker 30839
$ f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R} $ gegeben durch

% latex2html id marker 30841
$\displaystyle f(x)=\vert x_{1}x_{2}\vert^{1/4}e^{...
...{1}^{2}+x_{2}^{2}}},\quad x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2},\quad x\neq 0=(0,0)$

sowie $ f(0)=0 $. Es sei $ x_{0}=0=(0,0) $. Für beliebiges % latex2html id marker 30847
$ h=(h_{1},h_{2})\in \mathbb{R}^{2} $ gilt dann

% latex2html id marker 30849
$\displaystyle \varphi _{h}(t)=f(th)=t^{1/2}\vert ...
...t(h_{1}^{2}+h_{2}^{2})}},\quad t\in \mathbb{R},\quad t\neq 0,\quad h\neq (0,0),$

bzw. $ \varphi _{h}(t)=f(0)=0 $ für $ t=0 $ oder $ h=(0,0) $ . Folglich gilt

$\displaystyle Df(0)[h]=\lim _{t\to 0}t^{-1}\varphi _{h}(t)=0,\quad h\in E.$

Damit ist

% latex2html id marker 30859
$\displaystyle f'_{s}(0)=Df(0)[\, \cdot \, ]=\mathbb{O}\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})$

der Nulloperator von % latex2html id marker 30861
$ E=\mathbb{R}^{2} $ nach % latex2html id marker 30863
$ F=\mathbb{R} $.

Ist die Funktion $ f $ im Punkt $ x_{0}=(0,0) $ Frechet-differenzierbar, so gilt % latex2html id marker 30869
$ f'(0)=f'_{s}(0)=\mathbb{O} $ und damit

% latex2html id marker 30873
$\displaystyle f(h)=f(0)+\mathbb{O}h+o(\parallel h\parallel )=o(\parallel h\parallel ),\quad h\to 0.$ (3.4.3.1)

Wir betrachten nun die Folge $ h^{(n)}=(h_{1}^{(n)},h_{2}^{(n)}) $ gegeben durch

% latex2html id marker 30877
$\displaystyle h_{1}^{(n)}=n^{-1}\cos \theta _{n},\quad h_{2}^{(n)}=n^{-1}\sin \theta _{n},\quad n\in \mathbb{N},$

wobei die Werte % latex2html id marker 30879
$ \theta _{n}\in [0,\pi /4] $ durch die Bedingung

% latex2html id marker 30881
$\displaystyle \frac{1}{n^{2}}=\sin 2\theta _{n},\quad n\in \mathbb{N},$

gegeben sind. Dann gilt $ \Vert h^{(n)}\Vert =n^{-1}\to 0 $ sowie
$\displaystyle \vert h_{1}^{(n)}h_{2}^{(n)}\vert^{1/2}$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 30890
$\displaystyle \sqrt{n^{-2}\vert\cos \theta _{n}\sin \theta _{n}\vert}=n^{-1}\sqrt{2^{-1}\sin 2\theta _{n}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}n^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}((h_{1}^{(n)})^{2}+(h_{2}^{(n)})^{2})$  

und folglich

% latex2html id marker 30896
$\displaystyle f(h^{(n)})=\vert h_{1}^{(n)}h_{2}^{(n)}\vert^{1/4}e^{-1/\sqrt{2}}=cn^{-1}=c\Vert h^{(n)}\Vert ,\quad n\in \mathbb{N},$

mit $ c=2^{-1/4}e^{-1/\sqrt{2}}\neq 0 $. Die letzte Gleichung widerspricht der asymptotischen Bedingung (3.4.3.1). Damit ist $ f $ im Punkt $ x_{0}=(0,0) $ nicht Frechet-differenzierbar.


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2003-09-05