Das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale.

Satz 1.7.5.1   Es sei $a:[0,+\infty [\to \mathbb{R}$ eine nichtnegative, monoton fallende Funktion und es gelte $\lim _{x\to +\infty }a(x)=0$. Desweiteren sei $b:[0,+\infty [\to \mathbb{R}$ eine reellwertige und auf jedem endlichen Intervall integrierbare Funktion. Es existiere eine Konstante $C<\infty$ mit der Eigenschaft

$$\left\vert \int _{A}^{B}b(t)dt\right\vert \leq C$$$$\quad \mbox {für\, beliebige}\quad B\geq A\geq 0.$$

Dann konvergiert das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }a(x)b(x)dx$.

$\blacktriangleright$ Wir wenden das Cauchy-Kriterium des Satzes 1.2.1.2 zur Konvergenz uneigentlicher Integrale an. Nach dem zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt

$$\int _{A_{1}}^{A_{2}}a(x)b(x)dx=a(A_{1})\int _{A_{1}}^{\xi }b(t)dt+a(A_{2})\int _{\xi }^{A_{2}}b(t)dt$$

für geeignetes $\xi \in [A_{1},A_{2}]$. Da der Absolutbetrag der beiden Integrale $\int _{A_{1}}^{\xi }b(t)dt$ sowie $\int _{\xi }^{A_{2}}b(t)dt$ durch die Konstante $C$ beschränkt ist und da weiterhin $a(A)\to 0$ für $A\to \infty$, so folgt für beliebiges $\varepsilon >0$

$$\left\vert \int _{A_{1}}^{A_{2}}a(x)b(x)dx\right\vert =C(a(A_{1})+a(A_{2}))<\varepsilon$$

für alle $A_{2}\geq A_{1}\geq A_{\varepsilon }$. Dies entspricht dem Cauchy-Kriterium für uneigentliche Integrale. $\blacktriangleleft$