Die Stetigkeit der Grenzfunktion und die Vollständigkeit von $C(X,\mathbb{K})\protect$.

Im Punkt 2.15 des Skriptes zur Vorlesung Analysis 1 haben wir gezeigt, daß für kompakte Mengen $X\subset M_{1}$ die Menge $C(X,\mathbb{K})$ mit der Norm

$$\Vert f\Vert _{C}=\max _{x\in X}\vert f(x)\vert$$

einen Banachraum bildet. Desweiteren haben wir dort auch gezeigt (vgl. auch mit Satz 2.1.3.1), daß gleichmäßige Konvergenz gleichbedeutend mit der Konvergenz in $C(X,\mathbb{K})$ bezüglich der Norm $\Vert \cdot \Vert _{C}$ ist. Dann kann man Satz 2.3.2.1 für Funktionenfolgen $f_{n}\in C(X,\mathbb{K})$ aus der Vollständigkeit von $C(X,\mathbb{K})$ herleiten:

Wegen Satz 2.1.3.1 bedeutet die gleichmäßige Konvergenz $f_{n}(x)\to \varphi (x)$ bezüglich $x\in X$, daß

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N(\varepsilon )}\forall _{n\geq N(\varepsilon )}\sup _{x\in X}\vert f_{n}(x)-\varphi (x)\vert<\varepsilon$$

und damit

$$\sup _{x\in X}\vert f_{n}(x)-f_{m}(x)\vert<2\varepsilon$$$$\quad \mbox {für}\quad n,m\geq N(\varepsilon ).$$

Nach dem Satz von Weierstrass gilt für die stetige Funktion $f_{n}-f_{m}$ bei $n,m\geq N(\varepsilon )$ damit

$$\Vert f_{n}-f_{m}\Vert _{C}=\max _{x\in X}\vert f_{n}(x)-f_{m}(x)\vert=\sup _{x\in X}\vert f_{n}(x)-f_{m}(x)\vert<2\varepsilon ,$$

d.h. $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\in CF(C(X,\mathbb{K}))$. Damit existiert aufgrund der Vollständigkeit ein Grenzwert $\psi =\lim _{n\to \infty }f_{n}$ im Banachraum $C(X,\mathbb{K})$, d.h. $f_{n}(x)$ konvergiert für $n\to \infty$ gleichmäßig bezüglich $x\in X$ gegen $\psi (x)$. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\varphi (x)=\psi (x)$ gilt damit

$$\varphi =\psi \in C(X,\mathbb{K}).$$

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, $X\subset M$ und $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$.