Multiplikation von Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

Satz 1.3.7.1   Es sei $a_{k}\geq 0$, $b_{k}\geq 0$ für $k\in \mathbb{N}$ und die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergieren. Dann gilt

$$\left( \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\r... ...^{\infty }b_{m}\right) =\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k}b_{m}.$$ (1.3.7.1)

Konvergiert die Reihe auf der rechten Seite von (1.3.7.1) und ist mindestens je einer der Summanden $a_{k}$ sowie $b_{m}$ verschieden von Null, so konvergieren beide Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$.

$\blacktriangleright$ Es sei $S_{b}=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$. Dann gilt nach Satz 1.3.7.1

$$\sum _{(k,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}a_{k}b_{m} = \sum _{k=1}^{\infty }\left( \sum _{m=1}^{\infty }a_{k}b_{m}\right)$$

$$= \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\left( \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\right) =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}S_{b}$$

$$= S_{b}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\left( \sum _{m=1}^{\infty }b_{m}\right) \left( \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\right) .$$

$\blacktriangleleft$