Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen.

Wir illustrieren dieses Prinzip am uns schon bekannten Beispiel der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz. Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und wir betrachten eine Abbildung $a:\mathbb{N}\times P\to (M,d)$, d.h. eine Folge von Funktionen $a_{k}(\cdot ):P\to M$ für $k\in \mathbb{N}$.

Man sagt, daß diese Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes $p\in P$ die Folge der $a_{k}(p)\in M$ in $(M,d)$ konvergiert, d.h.

$$\forall _{p\in P}\left( \forall _{\... ...q N(p,\varepsilon )}\left[ d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon \right] \right) .$$

Die Wahl des geeigneten $N=N(p,\varepsilon )$ kann sowohl von $\varepsilon >0$ als auch von $p\in P$ abhängen. Kann man darüber hinaus für jedes $\varepsilon >0$ ein geeignetes $N=N(\varepsilon )$ finden, welches unabhängig von $p\in P$ ist, so spricht man von gleichmäßiger Konvergenz:

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{... ...all _{k\geq N(\varepsilon )}\left[ d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon \right] .$$

Gleichmäßige Konvergenz impliziert offensichtlich punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt nicht, wie man am folgenden Beispiel sieht:

Beispiel 2.1.2.1   Es sei $a_{k}(p)=\frac{kp}{1+k^{2}p^{2}}$ für $p\in P=[0,1]$, $k\in \mathbb{N}$. Offensichtlich gilt $\lim _{k\to \infty }a_{k}(p)=0$ für jedes $p\in [0,1]$. Auf der anderen Seite impliziert für $p\in ]0,1]$ die Ungleichung

$$a_{k}(p)=\frac{kp}{1+k^{2}p^{2}}<\varepsilon ,\quad 0<\varepsilon ,\quad k\geq N(p,\varepsilon ),$$

die Abschätzung

$$N(p,\varepsilon )>\frac{1}{2p\varepsilon }\left( 1+\sqrt{1-\frac{1}{4\varepsilon ^{2}}}\right) .$$

Für kleine Werte von $p$ sieht man, daß für gegebenes $\varepsilon \in \left] 0,\frac{1}{4}\right[$ die Zahl $N=N(p,\varepsilon )$ nicht unabhängig vom Parameter $p\in [0,1]$ gewählt werden kann. Damit liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.

Betrachtet man hingegen die gleiche Folge $a_{k}(p)$ bezüglich einer anderen Parametermenge, z.B. $p\in P'=\left[ \frac{1}{2},1\right] ,$ so kann man

$$N(\varepsilon )=\frac{1}{2\cdot 2^{-1}\cdot \varepsilon }\left( 1+\sqrt{1-\frac{1}{4\varepsilon ^{2}}}\right) +1$$

unabhängig von $p\in P'$ wählen. Damit konvergiert $a_{k}(p)$ für $k\to \infty$ gleichmäßig bezüglich des Parameters $p\in P'=\left[ \frac{1}{2},1\right]$.