Ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für gleichmäßigen Konvergenz.

Satz 2.1.3.1   Die Folge $\{a_{k}(p)\}_{k\in \mathbb{N}}$ konvergiert genau dann für $k\to \infty$ gleichmäßig gegen $\alpha (p)\in M$ bezüglich $p\in P$, wenn

$$\lim _{k\to \infty }\left( \sup _{p\in P}d(a_{k}(p),\alpha (p))\right) =0.$$ (2.1.3.1)

$\blacktriangleright$ Angenommen es gilt (2.1.3.1), d.h.

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{... ...repsilon }}\left[ \sup _{p\in P}d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon \right] \, .$$ (2.1.3.2)

Aus $\sup _{p\in P}\, d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon$ folgt $d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon$ für alle $p\in P$. Demnach impliziert (2.1.3.2)

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{... ..._{k\geq N_{\varepsilon }}\left[ d(a_{k}(p),\alpha (p))<\varepsilon \right] \, ,$$ (2.1.3.3)

also liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Umgekehrt impliziert (2.1.3.3) $d(a_{k}(p),\alpha (p))<\frac{\varepsilon }{2}$ für alle $p\in P$ und $k\geq N_{\varepsilon /2}$, und damit

$$0\leq \sup _{p\in P}d(a_{k}(p),\alpha (p))\leq \frac{\varepsilon }{2}<\varepsilon ,\quad k\geq \tilde{N}_{\varepsilon }=N_{\varepsilon /2}.$$

Dies ist gleichbedeutend mit (2.1.3.2), wenn man $N_{\varepsilon }$ durch $\tilde{N}_{\varepsilon }$ ersetzt. $\blacktriangleleft$