Beispiele.

 

(I) Es sei $E=F$. Die Identität $T=\mathbb{I}:E\to E$ gegeben durch $\mathbb{I}:x\mapsto x$, $x\in E$ ist ein stetiger linearer Operator.

 

(II) Für gegebene $a_{k,l}\in \mathbb{K}$ mit $k=1,\dots ,n$ und $l=1,\dots ,m$ induziert die Matrix

$$a=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1m}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{array}\right)$$

die lineare Abbildung $A:\mathbb{R}^{m}\to \mathbb{R}^{n}$ gegeben durch $x=(x_{1},\dots ,x_{m})\mapsto y=(y_{1},\dots ,y_{n})=Ax$ nach der Formel

$$y_{k}=\sum _{l=1}^{m}a_{kl}x_{l},\quad k=1,\cdots ,n.$$

Aufgabe 3.2.4.1   Beweisen Sie die Stetigkeit in diesen beiden Beispielen!

(III) Es sei $D_{T}=E=F=C([a,b],\mathbb{R})$. Für eine gegebene Funktion $\varphi \in C([a,b],\mathbb{R})$ betrachten wir die Abbildung

$$T_{\varphi }:C([a,b],\mathbb{R})\to C([a,b],\mathbb{R})$$$$\quad \mbox {gegeben\, durch}\quad T_{\varphi }u(x)=\varphi (x)u(x)$$

für $x\in [a,b]$. Dies ist offensichtlich eine lineare Abbildung. Die Abschätzung

$$\Vert T_{\varphi }u\Vert _{C}=\max _{x\in [a,b]}\vert\varphi (x)u... ...i (x)\vert\cdot \max _{x\in [a,b]}\vert u(x)\vert=C_{\varphi }\Vert u\Vert _{C}$$

mit $C_{\varphi }=\max _{x\in [a,b]}\vert\varphi (x)\vert$ zeigt, daß $T_{\varphi }$ beschränkt und damit stetig ist.

 

(IV) Es sei $E=F=C([0,1],\mathbb{R})$ und^3.4 $D_{d}=C^{1}([0,1],\mathbb{R})$. Wir betrachten die Abbildung $d:D_{d}\to F$ gegeben durch

$$(du)(x)=u'(x), \quad x\in ]0,1[,$$ (3.2.4.1)

$$(du)(0)=\lim _{x\to 0+0}u'(x), \quad (du)(1)=\lim _{x\to 1-0}u'(x).$$ (3.2.4.2)

Aufgabe 3.2.4.2   Zeigen Sie, daß $(du)(0)$ die rechtsseitige Ableitung von $u$ im Punkt $0$ und $(du)(1)$ die linksseitige Ableitung von $u$ im Punkt $1$ ist.

Der Operator $d$ ist offensichtlich eine lineare Abbildung. Auf der anderen Seite ist der so definierte Operator ist nicht stetig von $D_{d}\subset C([0,1],\mathbb{R})$ nach $C([0,1],\mathbb{R})$. Dazu betrachten wir die Funktionenfolge

$$f_{k}(x)=k^{-1}\sin k\pi x\in C([0,1],\mathbb{R}),\quad x\in [0,1],\quad k\in \mathbb{N}.$$

Dann gilt $\Vert f_{k}\Vert _{C}=k^{-1}\to 0$ und damit $f_{k}\to 0$ in für $k\to \infty$, während

$$(df_{k})(x)=f_{k}'(x)=\pi \cos kx,\quad x\in [0,1],\quad k\in \mathbb{N}.$$

Da $\Vert df_{k}\Vert _{C}=1$, so konvergiert $df_{k}$ nicht gegen $0$ in $C([0,1],\mathbb{R})$, also ist der Operator $d$ nicht stetig von $D_{d}\subset C([0,1],\mathbb{R})$ nach $C([0,1],\mathbb{R})$.

 

(V) Wir betrachten auf der Funktionenmenge $C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ das Funktional

$$\Vert f\Vert _{C^{1}}=\Vert f\Vert _{C}+\Vert v\Vert _{C}=\max _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert+\max _{x\in [a,b]}\vert v(x)\vert$$

mit $v(x)=f^{\prime }(x)$ für $x\in ]a,b[$ sowie $v(a)=\lim _{x\to a+0}f'(x)$ und $v(b)=\lim _{x\to b-0}f'(x)$.

Aufgabe 3.2.4.3   Zeigen Sie, daß $\Vert \cdot \Vert _{C^{1}}$ eine Norm auf $C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ definiert.

Es sei nun $D_{d}=E=C^{1}([0,1],\mathbb{R})$ und $F=C([0,1],\mathbb{R})$. Wir betrachten die lineare Abbildung $d$ gegeben in (3.2.4.1)-(3.2.4.2) als Operator von $D_{d}=E=C^{1}([0,1],\mathbb{R})$ nach $F=C([0,1],\mathbb{R})$. Die Abschätzung

$$\Vert df\Vert _{C}\leq \Vert f\Vert _{C}+\Vert df\Vert _{C}=\Vert f\Vert _{C^{1}}$$

zeigt, daß $d$ zwischen diesen beiden Räumen ein beschränkter und damit stetiger Operator ist.

Das letzte Beispiel illustriert nochmals, daß die Stetigkeit einer Abbildung von der Wahl der Metrik auf dem Definitions- wie auf dem Wertebereich abhängt.

Aufgabe 3.2.4.4   Zeigen Sie, daß $C^{1}([0,1],\mathbb{R})$ mit der Norm $\Vert \cdot \Vert _{C^{1}}$ ein Banachraum ist. Verwenden Sie dazu die Vollständigkeit von $C([0,1],\mathbb{R})$ sowie Satz 2.6.1.1.

(VI) Es sei $a<b$, $D_{J}=E=C([a,b],\mathbb{K})$ und $F=\mathbb{K}$. Wir betrachten die Abbildung

$$J:D_{J}\to \mathbb{K}$$$$\quad \mbox {gegeben\, durch}\quad Jf=\int _{a}^{b}f(x)dx.$$

Dies ist ein linearer Operator und wegen

$$\vert Jf\vert=\left\vert \int _{a}^{b}f(x)dx\right\vert \leq \int... ... f(x)\vert dx\leq (b-a)\max _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert=(b-a)\Vert f\Vert _{C}$$

ist $J$ ein beschränkter und damit stetiger Operator von $C([a,b],\mathbb{K})$ nach $\mathbb{K}$.