Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Variablen. Das Vertauschen von $\lim _{x\to x^{*}}\protect$ und $\lim _{y\to y^{*}}.\protect$

Es seien $(M_{j},d_{j})$ metrische Räume für $j=1,2,3$. Insbesondere sei $M_{3}$ vollständig.

Satz 2.4.0.1   Wir betrachten Mengen $X\subset M_{1}$ , $Y\subset M_{2}$ und Punkte $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$ sowie $y^{*}\in$$\mbox {acc}(Y)\cap Y$. Wir betrachten eine Funktion $f:X\times Y\to M_{3}$, so daß folgende Grenzwerte existieren

$$\lim _{y\to y^{*}}f(x,y)=\varphi (x) \quad \mbox {für\, alle}\quad x\in X,$$ (2.4.0.1)

$$\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=\psi (y) \quad \mbox {für\, alle}\quad y\in Y.$$ (2.4.0.2)

Einer dieser beiden Grenzwerte werde gleichmäßig^2.4 erreicht. Dann konvergiert

$$\lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right) .$$

$\blacktriangleright$ Angenommen, der Grenzwert (2.4.0.1) wird gleichmäßig erreicht. Wir betrachten eine beliebige Folge $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ von Gliedern $y_{k}\in Y$, $y_{k}\neq y^{*}$, welche für $k\to \infty$ gegen $y^{*}$ konvergiert uns setzen $a_{k}(x)=f(x,y_{k})$. Nach Aufgabe 2.1.5.2 konvergiert $a_{k}(x)$ dann für $k\to \infty$ gleichmäßig bezüglich $x\in X$ gegen $\varphi (x)$. Aus Satz 2.3.1.1 folgt

$$\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x) = \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{k\to \infty }a_{k}(x)\right) =\lim _{k\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}a_{k}(x)\right)$$

$$= \lim _{k\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y_{k})\right) =\lim _{k\to \infty }\psi (y_{k}).$$

Da $\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)$ nicht von der konkreten Wahl der Folge $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ abhängt, so konvergiert $\lim _{k\to \infty }\psi (y_{k})$ immer gegen ein und denselben Wert, woraus nach der Folgendefiniton des Grenzwertes

$$\lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{... ..._{y\to y^{*}}\psi (y)=\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right)$$

folgt. $\blacktriangleleft$

Satz 2.4.0.2   Unter den Voraussetzungen von Satz 2.4.0.2 sei

$$f(\cdot ,y):X\to M_{3}$$$$\quad \mbox {stetig\, im\, Punkt}\quad x^{*}\quad \mbox {für\, beliebiges}\quad y\in Y.$$

Dann ist $\varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x,y)$ ebenfalls stetig im Punkt $x^{*}$.

$\blacktriangleright$ Nach Satz 2.4.0.2 gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right) .$$

Aus der Stetigkeit von $f(\cdot ,y)$ für fixiertes $y\in Y$ im Punkt $x=x^{*}$ folgt

$$\lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=f(x^{*},y),\quad y\in Y,$$

und damit

$$\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x^{*},y)=\varphi (x^{*}).$$

$\blacktriangleleft$

Wir erinnern, daß es zur Überprüfung der Stetigkeit genügt, Punkte $\tilde{x}=x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$ zu betrachten. Ist deshalb unter den Vorassetzungen des obigen Satzes $f(\cdot ,y):X\to M_{3}$ in allen Punkten $x\in X$ stetig, so gilt dies offensichtlich auch für die Funktion $\varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x,y)$.