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Zur Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionen zweier Variablen. Das Vertauschen von $ \lim _{x\to x^{*}}\protect $ und $ \lim _{y\to y^{*}}.\protect $

Es seien $ (M_{j},d_{j}) $ metrische Räume für $ j=1,2,3 $. Insbesondere sei $ M_{3} $ vollständig.

Satz 2.4.0.1   Wir betrachten Mengen $ X\subset M_{1} $ , $ Y\subset M_{2} $ und Punkte $ x^{*}\in$$ \mbox {acc}(X)\cap X $ sowie $ y^{*}\in$$ \mbox {acc}(Y)\cap Y $. Wir betrachten eine Funktion $ f:X\times Y\to M_{3} $, so daß folgende Grenzwerte existieren
$\displaystyle \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)=\varphi (x)$ % latex2html id marker 25196
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad$ $\displaystyle x\in X,$ (2.4.0.1)
$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=\psi (y)$ % latex2html id marker 25204
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad$ $\displaystyle y\in Y.$ (2.4.0.2)

Einer dieser beiden Grenzwerte werde gleichmäßig2.4 erreicht. Dann konvergiert

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right) .$

$ \blacktriangleright $ Angenommen, der Grenzwert (2.4.0.1) wird gleichmäßig erreicht. Wir betrachten eine beliebige Folge % latex2html id marker 25221
$ \{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ von Gliedern $ y_{k}\in Y $, $ y_{k}\neq y^{*} $, welche für $ k\to \infty $ gegen $ y^{*} $ konvergiert uns setzen $ a_{k}(x)=f(x,y_{k}) $. Nach Aufgabe 2.1.5.2 konvergiert $ a_{k}(x) $ dann für $ k\to \infty $ gleichmäßig bezüglich $ x\in X $ gegen $ \varphi (x) $. Aus Satz 2.3.1.1 folgt
$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{k\to \infty }a_{k}(x)\right) =\lim _{k\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}a_{k}(x)\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y_{k})\right) =\lim _{k\to \infty }\psi (y_{k}).$  

Da $ \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x) $ nicht von der konkreten Wahl der Folge % latex2html id marker 25254
$ \{y_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ abhängt, so konvergiert $ \lim _{k\to \infty }\psi (y_{k}) $ immer gegen ein und denselben Wert, woraus nach der Folgendefiniton des Grenzwertes

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{...
..._{y\to y^{*}}\psi (y)=\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right) $

folgt. $ \blacktriangleleft $

Satz 2.4.0.2   Unter den Voraussetzungen von Satz 2.4.0.2 sei

$\displaystyle f(\cdot ,y):X\to M_{3}$% latex2html id marker 25269
$\displaystyle \quad \mbox {stetig\, im\, Punkt}\quad x^{*}\quad \mbox {für\, beliebiges}\quad y\in Y.$

Dann ist $ \varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x,y) $ ebenfalls stetig im Punkt $ x^{*} $.

$ \blacktriangleright $ Nach Satz 2.4.0.2 gilt

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{y\to y^{*}}f(x,y)\right) =\lim _{y\to y^{*}}\left( \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)\right) .$

Aus der Stetigkeit von $ f(\cdot ,y) $ für fixiertes $ y\in Y $ im Punkt $ x=x^{*} $ folgt

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}f(x,y)=f(x^{*},y),\quad y\in Y,$

und damit

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x^{*},y)=\varphi (x^{*}).$

$ \blacktriangleleft $

Wir erinnern, daß es zur Überprüfung der Stetigkeit genügt, Punkte $ \tilde{x}=x^{*}\in$$ \mbox {acc}(X)\cap X $ zu betrachten. Ist deshalb unter den Vorassetzungen des obigen Satzes $ f(\cdot ,y):X\to M_{3} $ in allen Punkten $ x\in X $ stetig, so gilt dies offensichtlich auch für die Funktion $ \varphi (x)=\lim _{y\to y^{*}}f(x,y) $.


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2003-09-05