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Es seien
metrische Räume für .
Insbesondere sei vollständig.
Angenommen, der Grenzwert (2.4.0.1) wird gleichmäßig
erreicht. Wir betrachten eine beliebige Folge
von Gliedern
,
, welche für
gegen konvergiert uns setzen
.
Nach Aufgabe 2.1.5.2 konvergiert dann
für
gleichmäßig bezüglich gegen
. Aus Satz 2.3.1.1 folgt
Da
nicht von der konkreten Wahl
der Folge
abhängt, so konvergiert
immer gegen ein und denselben
Wert, woraus nach der Folgendefiniton des Grenzwertes
folgt.
Satz 2.4.0.2
Unter den Voraussetzungen von Satz 2.4.0.2 sei
Dann ist
ebenfalls stetig
im Punkt .
Nach Satz 2.4.0.2 gilt
Aus der Stetigkeit von
für fixiertes
im Punkt folgt
und damit
Wir erinnern, daß es zur Überprüfung der Stetigkeit genügt, Punkte
zu betrachten. Ist
deshalb unter den Vorassetzungen des obigen Satzes
in allen Punkten stetig, so gilt dies offensichtlich
auch für die Funktion
.
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2003-09-05