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Das Vertauschen der Grenzwerte $ \lim _{n\to \infty } $ und $ \lim _{x\to x_{0}}\protect $.

Wir betrachten die metrischen Räume $ (M_{1},d_{1}) $ und $ (M_{2},d_{2}) $ und es sei $ X\subset M_{1} $ sowie $ x^{*}\in$$ \mbox {acc}(X)\cap X $. Der metrische Raum $ M_{2} $ sei vollständig.

Satz 2.3.1.1   Es sei % latex2html id marker 24789
$ f:\mathbb{N}\times X\to M_{2} $ eine Folge von Funktionen $ f_{n}:X\to M_{2} $, % latex2html id marker 24793
$ n\in \mathbb{N} $, so daß der Grenzwert

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\varphi (x)$% latex2html id marker 24796
$\displaystyle \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$

angenommen wird. Desweiteren konvergiere

$\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)=b_{n}$% latex2html id marker 24799
$\displaystyle \quad \mbox {für\, alle}\quad n\in \mathbb{N}.$

Dann existieren die beiden Grenzwerte $ \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x) $ und $ \lim _{n\to \infty }b_{n} $ und es gilt

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right) =\li...
...to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)\right) .$

$ \blacktriangleright $ Es sei % latex2html id marker 24810
$ \{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} $ eine beliebige Folge von Gliedern $ x_{n}\in X $, $ x_{n}\neq x^{*} $, welche für $ n\to \infty $ gegen $ x^{*} $ konvergiert.2.3 Es sei $ a_{n,p}=f_{n}(x_{p}) $ mit % latex2html id marker 24827
$ n,p\in \mathbb{N} $. Dann konvergiert

$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,p}=\varphi (x_{p})$% latex2html id marker 24830
$\displaystyle \quad \mbox {sowie}\quad \lim _{p\t...
... }a_{n,p}=\lim _{p\to \infty }f_{n}(x_{p})=\lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)=b_{n}\, ,$

wobei der erste dieser beiden Grenzwerte nach der Voraussetzung des Satzes gleichmäßig bezüglich % latex2html id marker 24832
$ p\in \mathbb{N} $ angenommen wird. Nach Satz 2.2.2.1 konvergieren damit die Grenzwerte

$\displaystyle \lim _{p\to \infty }\varphi (x_{p})=\lim _{n\to \infty }b_{n}.$

Da die rechte Seite in dieser Identität nicht von der konkreten Wahl der Folge % latex2html id marker 24836
$ \{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\to x^{*} $, abhängt, so gilt nach der Folgendefinition der Konvergenz auch

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{n\to \infty }b_{n}.$

$ \blacktriangleleft $


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2003-09-05