Das Vertauschen der Grenzwerte $\lim _{n\to \infty }$ und $\lim _{x\to x_{0}}\protect$.

Wir betrachten die metrischen Räume $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ und es sei $X\subset M_{1}$ sowie $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$. Der metrische Raum $M_{2}$ sei vollständig.

Satz 2.3.1.1   Es sei $f:\mathbb{N}\times X\to M_{2}$ eine Folge von Funktionen $f_{n}:X\to M_{2}$, $n\in \mathbb{N}$, so daß der Grenzwert

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\varphi (x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$$

angenommen wird. Desweiteren konvergiere

$$\lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)=b_{n}$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad n\in \mathbb{N}.$$

Dann existieren die beiden Grenzwerte $\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)$ und $\lim _{n\to \infty }b_{n}$ und es gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right) =\li... ...to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)\right) .$$

$\blacktriangleright$ Es sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ eine beliebige Folge von Gliedern $x_{n}\in X$, $x_{n}\neq x^{*}$, welche für $n\to \infty$ gegen $x^{*}$ konvergiert.^2.3 Es sei $a_{n,p}=f_{n}(x_{p})$ mit $n,p\in \mathbb{N}$. Dann konvergiert

$$\lim _{n\to \infty }a_{n,p}=\varphi (x_{p})$$$$\quad \mbox {sowie}\quad \lim _{p\t... ... }a_{n,p}=\lim _{p\to \infty }f_{n}(x_{p})=\lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)=b_{n}\, ,$$

wobei der erste dieser beiden Grenzwerte nach der Voraussetzung des Satzes gleichmäßig bezüglich $p\in \mathbb{N}$ angenommen wird. Nach Satz 2.2.2.1 konvergieren damit die Grenzwerte

$$\lim _{p\to \infty }\varphi (x_{p})=\lim _{n\to \infty }b_{n}.$$

Da die rechte Seite in dieser Identität nicht von der konkreten Wahl der Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\to x^{*}$, abhängt, so gilt nach der Folgendefinition der Konvergenz auch

$$\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x)=\lim _{n\to \infty }b_{n}.$$

$\blacktriangleleft$