Definitionen.

Wir betrachten Folgen $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ mit Gliedern $a_{k}\in \mathbb{K}^{p}$ als auch Funktionen $f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{K}^{p}$, welche auf jedem endlichen Intervall $[0,c]$ integrierbar sind. Konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ im Sinne von Definition 1.1.1.1 bzw. das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ im Sinne von Definition 1.1.1.2, so sprechen wir auch von bedingter Konvergenz. Wir übernehmen diese Sprachregelung auch für alle anderen Typen konvergenter uneigentlicher Integrale.

Definition 1.6.1.1   Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\parallel a_{k}\parallel$ (bedingt) konvergiert. Das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(x)dx$ konvergiert absolut, genau dann, wenn das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }\parallel f(x)\parallel dx$ (bedingt) konvergiert.

Diese Definition läßt sich offensichtlich auch für alle anderen Typen uneigentlicher Integrale modifizierten. Dies sei dem Leser überlassen.

Anmerkung 1.6.1.2   Zur Verifikation der absoluten Konvergenz einer Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ kann man die oben formulierten Konvergenzkriterien auf die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\parallel a_{k}\parallel$ nichtnegativer Summanden anwenden.