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Definitionen.

Wir betrachten Folgen % latex2html id marker 23164
$ \{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} $ mit Gliedern % latex2html id marker 23166
$ a_{k}\in \mathbb{K}^{p} $ als auch Funktionen % latex2html id marker 23168
$ f:[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb{K}^{p} $, welche auf jedem endlichen Intervall $ [0,c] $ integrierbar sind. Konvergiert die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ im Sinne von Definition 1.1.1.1 bzw. das uneigentliche Integral $ \int _{0}^{\infty }f(x)dx $ im Sinne von Definition 1.1.1.2, so sprechen wir auch von bedingter Konvergenz. Wir übernehmen diese Sprachregelung auch für alle anderen Typen konvergenter uneigentlicher Integrale.

Definition 1.6.1.1   Die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }\parallel a_{k}\parallel $ (bedingt) konvergiert. Das uneigentliche Integral $ \int _{0}^{\infty }f(x)dx $ konvergiert absolut, genau dann, wenn das uneigentliche Integral $ \int _{0}^{\infty }\parallel f(x)\parallel dx $ (bedingt) konvergiert.

Diese Definition läßt sich offensichtlich auch für alle anderen Typen uneigentlicher Integrale modifizierten. Dies sei dem Leser überlassen.

Anmerkung 1.6.1.2   Zur Verifikation der absoluten Konvergenz einer Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k} $ kann man die oben formulierten Konvergenzkriterien auf die Reihe $ \sum _{k=1}^{\infty }\parallel a_{k}\parallel $ nichtnegativer Summanden anwenden.



2003-09-05