Wichtige Eigenschaften der Frechet-Ableitung.

Satz 3.3.2.1   Ist die Funktion $f:U\to F$ im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ Frechet-differenzierbar, so ist $T_{x_{0}}=f'(x_{0})$ eindeutig bestimmt.

$\blacktriangleright$ Angenommen, es gibt zwei Operatoren $T_{1},T_{2}\in \mathcal{L}(E,F)$ mit

$$f(x_{0}+h) = f(x_{0})+T_{1}h+o(\Vert h\Vert _{E}),\quad h\to 0,$$

$$f(x_{0}+h) = f(x_{0})+T_{2}h+o(\Vert h\Vert _{E}),\quad h\to 0.$$

Dann folgt $T_{1}-T_{2}\in \mathcal{L}(E,F)$ und

$$0=T_{1}h-T_{2}h+o(\Vert h\Vert _{E}),\quad h\to 0,$$

daß heißt $(T_{1}-T_{2})h=o(\Vert h\Vert _{E})$ für $h\to \infty$. Damit existiert für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta '=\delta '(\varepsilon )>0$, so daß

$$\Vert (T_{1}-T_{2})h\Vert _{F}\leq \varepsilon \Vert h\Vert _{E}$$$$\quad \mbox {für}\quad \Vert h\Vert _{E}\leq \delta '.$$

Aufgrund der Homogenität der Norm und der Linearität von $T_{1}-T_{2}$ gilt diese Abschätzung auch für beliebige $h\in E$, woraus

$$\Vert T_{1}-T_{2}\Vert _{\mathcal{L}}\leq \varepsilon$$

für beliebiges $\varepsilon >0$ folgt. Damit ist $\Vert T_{1}-T_{2}\Vert _{\mathcal{L}}=0$. Aus den Axiomen der Norm von $\Vert \cdot \Vert _{\mathcal{L}}$ folgt

$$T_{1}-T_{2}=0\in \mathcal{L}(E,F),$$$$\quad \mbox {d.h.}\quad T_{1}=T_{2}.$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 3.3.2.2   Ist die Funktion $f:U\to F$ im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ Frechet-differenzierbar, so ist $f$ in diesem Punkt stetig.

 

Aufgabe 3.3.2.3   Es seien $f,g:U\to F$ zwei Funktionen, die im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ Frechet-differenzierbar sind. Zeigen Sie, daß dann die Abbildung $\alpha f+\beta g:U\to F$ für beliebige $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar ist und dabei

$$(\alpha f+\beta g)'(x_{0})=\alpha f'(x_{0})+\beta g'(x_{0})$$

gilt.

Satz 3.3.2.4   Die Funktionen $f:U\to F$ und $\alpha :U\to \mathbb{K}$ seien im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ Frechet-differenzierbar. Dann ist die Abbildung $\alpha f:U\to F$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar und es gilt

$$(\alpha f)'(x_{0})=\alpha (x_{0})f'(x_{0})+f(x_{0})\alpha '(x_{0}).$$ (3.3.2.1)

$\blacktriangleright$ Zunächst analysieren wir die Struktur des Ausdruckes (3.3.2.1). Da $\alpha ^{\prime }(x_{0})\in \mathcal{L}(E,\mathbb{K})$, so ist für jedes $h\in E$ der Ausdruck $\alpha ^{\prime }(x_{0})h$ ein Element in $\mathbb{K}$. Also ist wegen $f(x_{0})\in F$ der Ausdruck

$$f(x_{0})\alpha '(x_{0})h=f(x_{0})(\alpha '(x_{0})h)$$

als Produkt von $f(x_{0})\in F$ mit dem Skalar $\alpha ^{\prime }(x_{0})h\in \mathbb{K}$ zu verstehen, dies ist ein Element in $F$. Desweiteren gilt $f^{\prime }(x_{0})\in \mathcal{L}(E,F)$ und damit $f^{\prime }(x_{0})h\in F$. Da $\alpha (x_{0})$ Werte in $\mathbb{K}$ annimmt, so ist

$$\alpha (x_{0})f'(x_{0})h=\alpha (x_{0})(f'(x_{0})h)$$

das Produkt des Skalars $\alpha (x_{0})$ mit $f^{\prime }(x_{0})h\in F$, d.h. selbst ein Element in $F$. Die Summe beider Ausdrücke

$$(\alpha f)'(x_{0})h=\alpha (x_{0})f'(x_{0})h+f(x_{0})\alpha '(x_{0})h$$ (3.3.2.2)

ist demnach ein Element in $F$. Es ist leicht zu sehen, daß (3.3.2.2) dabei für festes $x_{0}$ eine lineare Abbildungen von $E$ nach $F$ in der Variablen $h$ definiert. Da

$$\Vert (\alpha _{0}f'(x_{0})+f_{0}\alpha '(x_{0}))h\Vert _{F} \leq \Vert \alpha _{0}f'(x_{0})h\Vert _{F}+\Vert f_{0}\alpha '(x_{0})h\Vert _{F}$$

$$\leq \vert\alpha _{0}\vert\cdot \Vert f^{\prime }(x_{0})h\Vert _{F}+\Vert f_{0}\Vert _{F}\vert\alpha ^{\prime }(x_{0})h\vert$$

$$\leq \vert\alpha _{0}\vert\cdot \Vert f^{\prime }(x_{0})\Vert _{\mathcal{L}(E,F)}\Vert h\Vert _{E}+$$

$$\quad +\Vert f_{0}\Vert _{F}\cdot \Vert \alpha ^{\prime }(x_{0})\Vert _{\mathcal{L}(E,\mathbb{K})}\Vert h\Vert _{E}$$

$$\leq C\Vert h\Vert _{E}$$

mit $\alpha _{0}=\alpha (x_{0})$, $f_{0}=f(x_{0})$ sowie

$$C=\vert\alpha (x_{0})\vert\cdot \Ve... ...ert _{F}\cdot \Vert \alpha ^{\prime }(x_{0})\Vert _{\mathcal{L}(E,\mathbb{K})},$$

so gilt zudem $\alpha (x_{0})f'(x_{0})+f(x_{0})\alpha '(x_{0})\in \mathcal{L}(E,F)$.

Schreibt man nun

$$\alpha (x_{0}+h) = \alpha _{0}+\alpha ^{\prime }(x_{0})h+\psi (h),\quad \psi (h)\stackrel{h\to 0}{=}o(\Vert h\Vert _{E}),$$

$$f(x_{0}+h) = f_{0}+f^{\prime }(x_{0})h+\phi (h),\quad \phi (h)\stackrel{h\to 0}{=}o(\Vert h\Vert _{E}),$$

so folgt

$$\alpha (x_{0}+h)f(x_{0}+h) = \alpha _{0}f_{0}+(\alpha _{0}f^{\prime }(x_{0})+f_{0}\alpha ^{\prime }(x_{0}))h$$

$$\quad +\alpha _{0}\phi (h)+\psi (h)f_{0}+\phi (h)\alpha ^{\prime }(x_{0})h$$

$$\quad +\psi (h)f^{\prime }(x_{0})h+\psi (h)\phi (h).$$

Man verifiziert leicht, daß^3.6

$$\alpha _{0}\phi (h)+\psi (h)f_{0}+\phi (h)\alpha ^{\prime }(x_{0})h+\psi (h)f^{\prime }(x_{0})h+\psi (h)\phi (h)=o(\Vert h\Vert _{E})$$

für $h\to 0$, was den Beweis abschließt. $\blacktriangleleft$

Satz 3.3.2.5   Es seien $E$, $F$ und $G$ normierte Räume, $U\subset E$ und $V\subset F$. Die Abbildung $f:U\to F$ sei im Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$ Frechet-differenzierbar und es gelte $f(x_{0})=y_{0}\in$$\mbox {int}(V)$. Die Abbildung $g:V\to G$ sei im Punkt $y_{0}$ Frechet-differenzierbar. Die Funktion $g\circ f$ ist dann im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar ist und es gilt

$$(g\circ f)^{\prime }(x_{0})=g^{\prime }(f(x_{0}))f^{\prime }(x_{0}).$$ (3.3.2.3)

$\blacktriangleright$ Wegen $y_{0}\in$$\mbox {int}(V)$ existiert ein $\delta >0$ mit $U_{\delta }(y_{0})\subset V$. Nach Aufgabe 3.3.2.2 ist $f$ im Punkt $x_{0}$ stetig, d.h. es existiert ein $\varepsilon >0$ mit $f(U_{\varepsilon }(x_{0}))\subset U_{\delta }(y_{0})\subset V$. Damit ist $x_{0}$ ein innerer Punkt des Definitionsbereiches $\tilde{U}=\{x\in U\vert f(x)\in V\}$ von $g\circ f$.

Da $f^{\prime }(x_{0})\in \mathcal{L}(E,F)$ und $g^{\prime }(f(x_{0}))\in \mathcal{L}(F,G)$, so ist nach Aufgabe 3.2.6.1 $g^{\prime }(f(x_{0}))f^{\prime }(x_{0})\in \mathcal{L}(E,G)$. Aus

$$f(x_{0}+h) = f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})h+\phi (h),\quad \phi (h)\stackrel{h\to 0}{=}o(\Vert h\Vert _{E}),$$

$$g(y_{0}+k) = g(y_{0})+g^{\prime }(y_{0})k+\psi (k),\quad \psi (k)\stackrel{k\to 0}{=}o(\Vert k\Vert _{F})$$

folgt

$$(g\circ f)(x_{0}+h) = g(f(x_{0})+k)$$

$$= g(f(x_{0}))+g^{\prime }(f(x_{0}))k+\psi (k)$$

mit $k=k(h)=f^{\prime }(x_{0})h+\phi (h)$. Es folgt wegen der Linearität von $f^{\prime }(x_{0})$ und der Abschätzung $\phi (h)\stackrel{h\to 0}{=}o(\Vert h\Vert _{E})$ auch

$$\Vert k\Vert _{F}\leq C\Vert h\Vert _{E}+\tilde{\varepsilon }\Vert h\Vert _{E}=\tilde{C}\Vert h\Vert _{E}$$

für genügend kleine $\Vert h\Vert _{E}$ und damit

$$\Vert \psi (k)\Vert _{G}\leq \varepsilon ^{\prime }\Vert k\Vert _{F}\leq \varepsilon ^{\prime }\tilde{C}\Vert h\Vert _{E}$$

für $\Vert h\Vert _{E}\leq \delta ^{\prime }$. Dann ist $\psi (k)=o(\Vert h\Vert _{E})$ für $h\to 0$ und damit

$$(g\circ f)(x_{0}+h)=g(f(x_{0}))+g^{\prime }(f(x_{0}))f^{\prime }(x_{0})h+g^{\prime }(f(x_{0}))\phi (h)+o(\Vert h\Vert _{E}).$$

Da weiterhin aufgrund der Linearität von $g^{\prime }(f(x_{0}))$ die Abschätzung

$$g^{\prime }(f(x_{0}))\phi (h)=o(\Vert h\Vert _{E})$$$$\quad \mbox {für}\quad h\to 0$$

gilt, so folgt (3.3.2.3). $\blacktriangleleft$