Der Beweis von Satz 3.4.4.1.

$$
$\blacktriangleright$ Wir wählen

$$a=x_{0},\quad b=x_{0}+h.$$

Dann gilt $\overline{x_{0},x_{0}+h}=\overline{ab}\in U_{\varepsilon }(x_{0})$ für $\vert h\vert=\vert b-a\vert<\varepsilon$. Nach Satz 3.5.2.1 folgt aus (3.5.2.1) die Ungleichung

$$\parallel f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'_{s... ...(x)-f'_{s}(x_{0})\parallel _{\mathcal {L}(E,F)}\cdot \parallel h\parallel _{E}.$$

Die Stetigkeit von $f'_{s}(\cdot ):U_{\varepsilon }(x_{0})\to \mathcal {L}(E,F)$ im Punkt $x_{0}$ impliziert

$$f'_{s}(x)\to f'(x_{0})$$$$\quad \mbox {für}\quad x\to x_{0}$$

und damit^3.8

$$\sup _{x\in \overline{x_{0},x_{0}+h... ...rallel _{\mathcal {L}(E,F)}\cdot \parallel h\parallel _{E}=o(\Vert h\Vert _{E})$$$$\quad \mbox {für}\quad h\to 0.$$

Daraus folgt

$$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'_{s}(x_{0})h+o(\Vert h\Vert _{E})$$$$\quad \mbox {für}\quad h\to 0.$$

Also ist die Funktion $f$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar und es gilt $f'(x_{0})=f'_{s}(x_{0})$. $\blacktriangleleft$