Funktionenreihen und Grenzwerte.

Satz 2.3.4.1   Wir betrachten die Funktionenfolge $a_{k}:X\to \mathbb{K}^{d}$, so daß die Reihe

$$S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$$

konvergiert. Desweiteren existiere der Grenzwert

$$\lim _{x\to x^{*}}a_{n}(x)=b_{n}$$$$\quad \mbox {für\, beliebiges}\quad n\in \mathbb{N}.$$

Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ und es gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}S(x)=\lim _{x\to x^{*}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{x\to x^{*}}a_{n}(x).$$

$\blacktriangleright$ Für

$$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(x)$$

gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}S_{n}(x)=\sum ^{n}_{k=1}\lim _{x\to x^{*}}a_{k}(x)=\sum _{k=1}^{n}b_{k}.$$

Desweiteren konvergiert die Folge $\{S_{n}(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$ gleichmäßig bezüglich $x\in X$ gegen $S(x)$. Nach Satz 2.3.1.1 folgt somit

$$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=\lim _{n\to \infty }\left( \lim _{x\to... ...{x\to x^{*}}\left( \lim _{n\to \infty }S_{n}(x)\right) =\lim _{x\to x^{*}}S(x).$$

$\blacktriangleleft$