Zur Differentation von Potenzreihen. Komplexe Differenzierbarkeit.

Bei der Untersuchung der Differenzierbarkeit von Funktionenreihen haben wir uns der Einfachheit halber in Kapitel 2.6 auf reelle Differenzierbarkeit beschränkt und in den Beweisen auch Methoden der reellen Ableitungen eingesetzt^2.5. Andererseits lassen sich die oben gesammelten Beobachtung zur reellen Differenzierbarkeit von Potenzreihen auch auf komplexe Differenzierbarkeit ausweiten:

Satz 2.11.5.1   Die Potenzreihe $S(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ besitze einen Konvergenzradius $R>0$. Dann ist die Funktion $S(z)$ in allen Punkten $z\in U_{R}$ beliebig oft als Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar und es gilt

$$\frac{d^{n}S(z)}{dz^{n}}=\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}k(k-1)(k-n+1)z^{k-n},\quad z\in U_{R},\quad n\in \mathbb{N}.$$ (2.11.5.1)

$\blacktriangleright$ Es sei $z\neq z_{0}$, $z\in U_{R_{1}}$, $z_{0}\in U_{R_{1}}$ sowie $R_{1}\in \, ]\vert z_{0}\vert,R[\,$. Dann gilt

$$\frac{z^{k}-z_{0}^{k}}{z-z_{0}}=\sum _{l=0}^{k-1}z^{l}z_{0}^{k-1-l},\quad z\neq z_{0},$$

und damit

$$\left\vert \frac{z^{k}-z_{0}^{k}}{z-z_{0}}\right\vert \leq \sum _... ...quad z\neq z_{0},\quad \vert z\vert\leq R_{1},\quad \vert z_{0}\vert\leq R_{1}.$$ (2.11.5.2)

Da nach Lemma 2.11.4.1 die Potenzreihe $\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}u^{k-1}$ auch den Konvergenzradius $R$ besitzt, so ist nach Korollar 2.11.3.2 die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }k\vert a_{k}\vert R^{k-1}_{1}$ konvergent. Daraus folgt zusammen mit (2.11.5.2) nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass, daß die Reihe

$$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\frac{z^{k}-z_{0}^{k}}{z-z_{0}}$$

gleichmäßig bezüglich $\vert z\vert\leq R_{1}<R$ konvergiert. Nach Satz 2.3.4.1 folgt für $\vert z\vert\leq R_{1}$ dann

$$\left. \frac{d}{dz}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\right\vert _{z=z_{0}} = \lim _{z\to z_{0}}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\frac{z^{k}-z_{0}^{k}... ...0}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\lim _{z\to z_{0}}\frac{z^{k}-z_{0}^{k}}{z-z_{0}}$$

$$=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}z_{0}^{k-1}\, .$$

$\blacktriangleleft$