Definition des Konvergenzkreises und der Konvergenzradiuses.

Es sei $a_{k}$, $k=0,1,2,\dots$ eine Folge komplexer Zahlen sowie $z\in \mathbb{C}$ und $z^{*}\in \mathbb{C}$. Wir betrachten die Funktionen

$$\alpha _{k}(z)=a_{k}(z-z^{*})^{k},\quad k\in \mathbb{N}$$$$\quad \mbox {sowie}\quad \alpha _{0}(z)=a_{0},$$

und wollen Funktionenreihen vom Typ

$$S(z)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}(z)=a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(z-z^{*})^{k}$$ (2.11.1.1)

untersuchen. Solche Reihen nennt man Potenzreihen.

Durch die Transformation $\tilde{z}=z-z^{*}$ kann man die Reihe (2.11.1.1) auf $a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\tilde{z}^{k}$ zurückführen. Wir nehmen daher im weiteren an, daß $z^{*}=0$ gilt. Außerdem schreiben wir die Potenzreihe kurz als $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\tilde{z}^{k}$, d.h. $\tilde{z}^{0}=1$ auch für $\tilde{z}=0$.

Definition 2.11.1.1   Wir sagen, die Potenzreihe $S(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ besitzt einen Konvergenzkreis $U_{R}=\{z\in \mathbb{C}\vert\, \vert z\vert<R\}$ mit einem Konvergenzradius $R\in [0,+\infty [\, \cup \{+\infty \}$ genau dann, wenn

$$S(z) \quad \mbox {für}\quad \vert z\vert<R \quad \mbox \{konvergiert\, und\}$$

$$S(z) \quad \mbox {für}\quad \vert z\vert>R \quad \mbox {divergiert}.$$

Die Konvergenz oder Divergenz für $\vert z\vert=R$ wird bei dieser Definition nicht berücksichtigt. Für $R=0$ konvergiert $S(z)$ nur für $z=0$, für $R=+\infty$ konvergiert $S(z)$ für alle $z\in \mathbb{C}$.