Das Lemma von Hahn und Banach.

Definition 3.5.1.1   Es sei $F$ ein normierter Raum über $\mathbb{K}$. Eine Abblidung $l:F\to \mathbb{K}$ nennt man ein stetiges lineares Funktional auf $F$ genau dann, wenn $l\in \mathcal {L}(F,\mathbb{K}).$

Wir benötigen im weiteren folgenden Hilfssatz, welcher als Lemma von Hahn und Banach bekannt ist:

Lemma 3.5.1.2   Es sei $F$ ein normierter Raum. Dann existiert für jeden Punkt $y_{0}\in F$ ein stetiges lineares Funktional $l_{y_{0}}\in \mathcal{L}(F,\mathbb{K})$ mit den Eigenschaften

$$\Vert l_{y_{0}}\Vert _{\mathcal {L}(F,\mathbb{K})}=1,\quad l_{y_{0}}(y_{0})=\parallel y_{0}\parallel _{F}.$$

Für den Beweis des Lemmas von Hahn und Banach in dieser allgemeinen Formulierung verweisen wir auf den Kurs in Funktionalanalysis. Im Spezialfall $F=\mathbb{K}^{d}$ läßt sich das Funktional explizit konstruieren: Für $y_{0}\neq 0$ setzt man

$$l_{y_{0}}(x)=\Vert y_{0}\Vert _{\mathbb{K}^{d}}^{-1}\left\langle x,y_{0}\right\rangle _{\mathbb{K}^{d}}.$$

Tatsächlich, das Skalarprodukt $<\cdot ,\cdot >_{\mathbb{K}^{d}}$ ist linear im ersten Argument, es gilt

$$l_{y_{0}}(y_{0})=\Vert y_{0}\Vert _... ...e y_{0},y_{0}\right\rangle _{\mathbb{K}^{d}}=\Vert y_{0}\Vert _{\mathbb{K}^{d}}$$

und aus der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung folgt

$$\left\vert l_{y_{0}}(x)\right\vert ... ...mathbb{K}^{d}}\Vert y_{0}\Vert _{\mathbb{K}^{d}}=\Vert x\Vert _{\mathbb{K}^{d}}$$

und damit $\Vert l_{y_{0}}\Vert _{\mathcal{L}(\mathbb{K}^{d},\mathbb{K})}\leq 1$. Die Identität $\Vert l_{y_{0}}\Vert _{\mathcal{L}(\mathbb{K}^{d},\mathbb{K})}=1$ erhält man für $x=y_{0}$. Im Fall $y_{0}=0$ erfüllt jedes stetige lineare Funktional mit der Norm $\Vert l\Vert _{\mathcal{L}(\mathbb{K}^{d},\mathbb{K})}=1$ die Bedingung des Satzes.