Die Monotonität.

Satz 1.3.1.1   Es gelte $0\leq a_{k}\leq b_{k}$, $k\in \mathbb{N}$. Divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, so divergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$. Konvergiert andererseits die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$, so konvergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und

$$0\leq \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}.$$ (1.3.1.1)

$\blacktriangleright$ Es sei $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ und $S^{'}_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ und damit nach Voraussetzung

$$S_{n}\leq S^{'}_{n} \quad \mbox {für\, alle}\quad n\in \mathbb{N}.$$ (1.3.1.2)

Divergiert $S_{n}$ gegen $+\infty$, so divergiert damit auch $S^{'}_{n}$ gegen $+\infty$. Konvergiert andererseits $S_{n}^{'}$ gegen eine (endliche) reelle Zahl, so ist $\{S_{n}^{'}\}$ und damit auch $\{S_{n}\}$ beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt $\{S_{n}\}$ einen Grenzwert. Geht man jetzt in der Ungleichung (1.3.1.2) zum Grenzwert über, so erhält man (1.3.1.1). $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.3.1.2   Formulieren und beweisen Sie die analoge Aussage für uneigentliche Integrale mit nichtnegativen Integranden.