Zur Äquivalenz von Normen im Fall von endlichen und unendlich vielen Dimensionen.

Es gibt signifikante Unterschiede zwischen endlich- und unendlichdimensionalen normierten Räumen, wie wir hier an zwei Beispielen illustrieren wollen. Diese dienen vor allem zur Warnung davor, ``gewohnte'' Eigenschaften der Räume $\mathbb{R}^{n}$ und $\mathbb{C}^{n}$ ohne weiteres auf den unedlichdimensionalen Fall zu verallgemeinern.

Auf den Räumen $\mathbb{R}^{n}$ und $\mathbb{C}^{n}$ kann man verschiedene Normen definieren. Für einen Vektor $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb{K}^{n}$ kann man neben der Euklidschen Norm $\parallel x\parallel =\left( \sum _{k=1}^{n}\vert x_{k}\vert^{2}\right) ^{1/2}$ z.B. die Normen

$$\Vert x\Vert _{1} = \sum _{k=1}^{n}\vert x_{k}\vert,$$

$$\Vert x\Vert _{\infty } = \max _{k=1,\dots ,n}\vert x_{k}\vert$$

definieren.

Aufgabe 3.1.3.1   Beweisen Sie, daß $\Vert \cdot \Vert _{1}$ und $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$ Normen auf $\mathbb{K}^{n}$ sind.

Satz 3.1.3.2   Es seien $\Vert \cdot \Vert _{A}$ und $\Vert \cdot \Vert _{B}$ zwei Normen auf $\mathbb{K}^{n}$. Dann sind diese äquivalent, d.h. es existieren zwei positive, endliche Konstanten $c=c(n,\Vert \cdot \Vert _{A},\Vert \cdot \Vert _{B})$ und $C=C(n,\Vert \cdot \Vert _{A},\Vert \cdot \Vert _{B})$, so daß

$$c\Vert x\Vert _{A}\leq \Vert x\Vert _{B}\leq C\Vert x\Vert _{A},\quad x\in \mathbb{K}^{n}.$$

$\blacktriangleright$ Zunächst stellen wir fest, daß

$$\Vert x\Vert _{\infty }=\max _{k=1,\dots ,n}\vert x_{k}\vert\leq \parallel x\parallel =\left( \sum _{k=1}^{n}\vert x_{k}\vert^{2}\right) ^{1/2}.$$

Es sei^3.1 $e_{k}=(\delta _{1k},\dots ,\delta _{nk})$, $k\in \mathbb{N}$ und damit gilt für $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ die Zerlegung $x=\sum _{k=1}^{n}x_{k}e_{k}$. Dann folgt für die Norm $\Vert \cdot \Vert _{A}$ nach der Dreiecksungleichung und der Homogenität die Abschätzung

$$\Vert x\Vert _{A} = \left\Vert \sum _{k=1}^{n}x_{k}e_{k}\right\Vert _{A}\leq \sum _{k... ...\Vert x_{k}e_{k}\Vert _{A}=\sum _{k=1}^{n}\vert x_{k}\vert\Vert e_{k}\Vert _{A}$$

$$\leq n\left( \max _{k=1,\dots ,n}\vert x_{k}\vert\right) \left( \max _... ...rt e_{k}\Vert _{A}\right) =nM\Vert x\Vert _{\infty }\leq nM\parallel x\parallel$$

mit $M=\max _{k=1,\dots ,n}\Vert e_{k}\Vert _{A}<\infty$. Aus der Dreiecksungleichung für $\Vert \cdot \Vert _{A}$ folgt

$$\left\vert \Vert x\Vert _{A}-\Vert y\Vert _{A}\right\vert \leq \Vert x-y\Vert _{A}$$

und damit ist wegen

$$\left\vert \Vert x\Vert _{A}-\Vert ... ... \Vert x-y\Vert _{A}\leq nM\parallel x-y\parallel ,\quad x,y\in \mathbb{K}^{n},$$

die Abbildung $\Vert \cdot \Vert _{A}:\mathbb{K}^{n}\to \mathbb{R}$ stetig bezüglich der Euklidschen Norm $\parallel \cdot \parallel$.

Wir betrachten nun die Restriktion dieser Funktion

$$\Vert \cdot \Vert _{A}:K\to \mathbb{R}$$$$\quad \mbox {auf}\quad x\in K=\{x\in \mathbb{K}^{n}\vert\, \parallel x\parallel =1\}\subset \mathbb{K}^{n}.$$

Die Menge $K$ ist bezüglich $\parallel \cdot \parallel$ eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von $\mathbb{K}^{n}$; nach dem Satz von Bolzano ist diese Menge kompakt.^3.2 Die stetige Funktion $\Vert x\Vert _{A}:K\to \mathbb{R}$ nimmt nach dem Satz von Weierstrass damit ihr

$$\mbox {Minimum} \quad m_{1}=\min _{x\in K}\Vert x\Vert _{A}=\Vert x^{*}\Vert _{A}$$

$$\mbox {und\, Maximum} \quad m_{2}=\max _{x\in K}\Vert x\Vert _{A}=\Vert x^{**}\Vert _{A}$$

für geeignete $x^{*}\in K$ und $x^{**}\in K$ an. Da $\parallel x^{*}\parallel =1$ und damit $x^{*}\neq 0$, so folgt

$$m_{1}=\Vert x^{*}\Vert _{A}>0.$$

Desweiteren ist offensichtlich

$$0<m_{1}\leq m_{2}=\Vert x^{**}\Vert _{A}\leq nM<\infty .$$

Für allgemeines $x\in \mathbb{K}^{n}$, $x\neq 0$ sei $e_{x}=\Vert x\Vert ^{-1}x$. Damit gilt $e_{x}\in K$ und $x=\Vert x\Vert e_{x}$. Aus

$$0<m_{1}\leq \Vert e_{x}\Vert _{A}\leq m_{2}<\infty$$

folgt nach Multiplikation mit $\parallel x\parallel$ schließlich

$$0<m_{1}\parallel x\parallel \leq \parallel x\parallel \Vert e_{x}... ...\, e_{x}\, \Vert _{A}=\Vert x\Vert _{A}\leq m_{2}\parallel x\parallel <\infty .$$

Auf gleichem Wege folgt

$$0<\tilde{m}_{1}\parallel x\parallel \leq \parallel x\parallel \Ve... ...\, \Vert _{B}=\Vert x\Vert _{B}\leq \tilde{m}_{2}\parallel x\parallel <\infty .$$

Die Kombination der letzten beiden Ungleichungen beweist den Satz. $\blacktriangleleft$

Der eben bewiesene Satz läßt sich leicht auf beliebige endlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern. Er gilt aber nicht für unendlichdimensionale Räume, wie wir an folgendem Gegenbeispiel illustrieren.

Auf der Menge $C([a,b],\mathbb{K})$, $a<b$, führen wir neben der kanonischen Norm

$$\Vert f\Vert _{C}=\max _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert,\quad f\in C([a,b],\mathbb{K}),$$

das Funktional

$$\Vert f\Vert _{1}=\int _{a}^{b}\vert f(x)\vert dx\quad f\in C([a,b],\mathbb{K}),$$

ein. Da für stetige Funktionen $f$ auch $\vert f\vert$ stetig und damit integrierbar ist, so ist die Größe $\Vert f\Vert _{1}$ wohldefiniert.

Lemma 3.1.3.3   Das Funktional $\Vert \cdot \Vert _{1}$ stellt eine Norm auf der Funktionenmenge $C([a,b],\mathbb{K})$ dar.

$\blacktriangleright$ Tatsächlich, für beliebiges $\alpha \in \mathbb{K}$ und $f\in C([a,b],\mathbb{K})$ folgt

$$\Vert \alpha f\Vert _{1} = \int _{a}^{b}\vert(\alpha \cdot f)(x)\vert dx=\int _{a}^{b}\vert\alpha f(x)\vert dx$$

$$= \int _{a}^{b}\vert\alpha \vert\vert f(x)\vert dx=\vert\alpha \vert\int _{a}^{b}\vert f(x)\vert dx=\vert\alpha \vert\Vert f\Vert _{1}.$$

Desweiteren folgt aus der Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag

$$\Vert f+g\Vert _{1} = \int _{a}^{b}\vert(f+g)(x)\vert dx=\int _{a}^{b}\vert f(x)+g(x)\vert dx$$

$$\leq \int _{a}^{b}(\vert f(x)\vert+\vert g(x)\vert)dx=\Vert f\Vert _{1}+\Vert g\Vert _{1}$$

für beliebige $f,g\in C([a,b],\mathbb{K})$. Wegen $\vert f(x)\vert\geq 0$ gilt offensichtlich

$$\Vert f\Vert _{1}=\int _{a}^{b}\vert f(x)\vert dx\geq 0.$$

Ist $f\neq 0$, d.h. gibt es ein $x_{0}\in [a,b]$ mit $f(x_{0})\neq 0$ und folglich $\vert f(x_{0})\vert=\delta >0$, so existiert aufgrund der Stetigkeit von $\vert f\vert$ ein $\varepsilon >0$ mit

$$\vert f(x)\vert\geq \delta /2>0$$$$\quad \mbox {für}\quad x\in ]x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon [\, \cap [a,b]$$

und damit

$$\Vert f\Vert _{1}=\int _{a}^{b}\vert f(x)\vert dx\geq \int _{\max... ...n \}}\vert f(x)\vert dx\geq \min \{b-a,\varepsilon \}\cdot \frac{\delta }{2}>0.$$

$\blacktriangleleft$

Wir betrachten nun die in (3.1.2.1)-(3.1.2.2) definierten Funktionen $u_{k}$ auf dem Intervall $[a,b]=[0,1]$. Man sieht leicht, daß

$$\Vert u_{k}\Vert _{C}=\max _{x\in [0,1]}\vert u_{k}(x)\vert=1,\quad k\in \mathbb{N},$$

während

$$\Vert u_{k}\Vert _{1}=\int _{0}^{1}... ...k}-x}{x_{k}-x_{k+1}}\pi dx=\frac{2(x_{k}-x_{k+1})}{\pi },\quad k\in \mathbb{N},$$

woraus bei $x_{k}=k^{-1}$ die Konvergenz

$$\Vert u_{k}\Vert _{1}=\frac{2}{\pi k(k+1)}\to 0$$$$\quad \mbox {für}\quad k\to \infty$$

folgt. Damit können $\Vert \cdot \Vert _{C}$ und $\Vert \cdot \Vert _{1}$ nicht äquivalent sein.

Wir betonen, daß die Funktionenmenge $C([a,b],\mathbb{K})$ bezüglich der Norm $\Vert \cdot \Vert _{1}$ nicht vollständig ist. Über die Struktur der ``Vervollständigung'' dieses Raumes bezüglich der Integralnorm sprechen wir im Rahmen der Lebesgue-Theorie.