Das Wurzelkriterium von Cauchy.

Satz 1.4.2.1   Es gelte $a_{k}\geq 0$ für $k\geq k_{0}$. Gilt $\sqrt[k]{a_k}\leq q$ für ein gewisses $q\in ]0,1[$ sowie alle $k\geq k_{0}$, so konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Ist hingegen $\sqrt[k]{a_k}\geq 1$ für unendlich viele $k\geq k_{0}$, so divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

$\blacktriangleright$ Für den ersten Teil der Aussage wenden wir das Vergleichskriterium von Satz 1.4.1.1 mit der geometrischen Reihe $b_{k}=q^{k}$ für $q\in ]0,1[$ an. Der zweite Teil der Aussage gilt, da aus $\sqrt[k]{a_k}\geq 1$ auch $a_{k}\geq 1$ für unendlich viele $k\geq k_{0}$ folgt, was dem notwendigen Bedingung $a_{k}\to 0$ für $k\to \infty$ widerspricht (vgl. Satz 1.2.1.3). $\blacktriangleleft$

Beispiel 1.4.2.2   Wir betrachten die Reihe $\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{(\ln k)^{k}}$. Für

$$a_{k}=\frac{1}{(\ln k)^{k}}$$$$\quad \mbox {folgt}\quad a_{k}^{1/k}=\frac{1}{\ln k}<\frac{1}{2}\quad \mbox {für}\quad k\geq k_{0}=e^{2}\approx 9,$$

und damit konvergiert die untersuchte Reihe nach dem Wurzelkriterium.