Die Definition der Frechet-Ableitung.

Es seien $E$ und $F$ normierte Räume, $U\subset E$ sowie $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$. Wir betrachten eine Funktion

$$f:U\to F.$$

Da $x_{0}$ ein innerer Punkt von $U$ ist, so gilt $x_{0}+h\in U$ für alle $h\in E$ mit $\Vert h\Vert _{E}<\delta$.

Definition 3.3.1.1   Der lineare stetige Operator $T_{x_{0}}\in \mathcal{L}(E,F)$ heißt Frechet-Ableitung von $f$ im Punkt $x_{0}$, genau dann wenn^3.5

$$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+T_{x_{0}}h+o(\Vert h\Vert _{E}) \quad \mbox {für}\quad h\to 0.$$ (3.3.1.1)

Wir benutzen dann die Bezeichnung $T=f'(x_{0})$.

Wir betonen, daß der Operator $T_{x_{0}}h$ für fixiertes $x_{0}$ linear in $h$ ist. Dabei kann die Abhängigkeit von $T_{x_{0}}$ von $x_{0}$ sehr kompliziert sein.