Der Riemannsche Umordnungssatz.

Die Bedeutung des oben formulierten Umordnungssatzes unterstreicht man am besten mit einem konträren Beispiel. Dazu betrachten wir eine Folge reeller (positiver und negativer) Zahlen $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ und setzen $a_{k}^{+}=\max \{a_{k},0\}$ sowie $a_{k}^{-}=-\min \{a_{k},0\}$. Dann gilt folgender Riemannscher Umordnungssatz für Reihen mit indefiniten Summanden, nach dem man durch geeignete Umordnung der Summanden der Reihe $\sum _{j=1}^{\infty }a_{\varphi (j)}$ jeden beliebigen vorgegebenen Wert geben kann:

Satz 1.3.3.1   Es gelte $\lim _{n\to \infty }a_{k}=0_{j}$ und die beiden Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ sowie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ seien divergent. Dann gibt es für jedes Element $r\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}$ eine Umordnung von $\mathbb{N}$, d.h. eine bijektive Abbildung $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N},$ so daß die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi (k)}$ gegen $r\in \mathbb{R}$ konvergiert bzw. gegen $r\in \{+\infty \}\cup \{-\infty \}$ bestimmt divergiert.

$\blacktriangleright$ Wir skizzieren den Beweis. Es seien $k^{+}_{l}$ und $k^{-}_{l}$ die streng monoton wachsenden Folgen aller solcher Indizes, für welche $a_{k^{+}_{l}}\geq 0$ bzw. $a_{k_{l}^{-}}<0$ gilt. Es sei o.B.d.A. $r>0$. Wir konstruieren nun die gesuchte Umordnung $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. Zunächst wählen wir

$$\varphi (1)=k_{1}^{+},\, \dots \, ,\varphi (l^{+}_{1})=k_{l_{1}^{+}}^{+},$$

so daß

$$\sum _{j=1}^{l_{1}^{+}-1}a_{\varphi (j)}<r$$$$\quad \mbox {und}\quad \sum _{j=1}^{l_{1}^{+}}a_{\varphi (j)}\geq r.$$

Dies ist immer möglich, da die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{j=1}^{\infty }a_{k_{j}^{+}}$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert. Danach wählen wir

$$\varphi (l_{1}^{+}+1)=k_{1}^{-},\, \dots \, ,\varphi (l_{1}^{+}+l^{-}_{1})=k_{l_{1}^{-}}^{-},$$

so daß

$$\sum _{j=1}^{l_{1}^{+}+l_{1}^{-}-1}a_{\varphi (j)}\geq r$$$$\quad \mbox {und}\quad \sum _{j=1}^{l_{1}^{+}+l_{1}^{-}}a_{\varphi (j)}<r.$$

Dies ist wiederum möglich, da die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }(-a_{k}^{+})=\sum _{j=1}^{\infty }a_{k_{j}^{-}}$ bestimmt gegen $-\infty$ divergiert. Diese Prozedur wird dann iterativ mit abwechselnd positiven Summanden für

$$\varphi (j)=k^{+}_{l_{1}^{+}+\cdots +l_{n}^{+}+m}\, ,\quad j=l_{1}^{+}+l_{1}^{-}+\cdots +l_{n}^{+}+l_{n}^{-}+m,\quad 1\leq m\leq l_{n+1}^{+},$$

und negativen Summanden für

$$\varphi (j)=k^{-}_{l_{1}^{-}+\cdots +l_{n-1}^{-}+m}\, ,\quad j=l_{1}^{+}+l_{1}^{-}+\cdots +l_{n}^{+}+m,\quad 1\leq m\leq l_{n}^{-},$$

mit den Bedingungen

$$\sum _{j=1}^{m_{n+1}^{+}-1}a_{\varphi (j)}<r, \quad \sum _{j=1}^{m_{n+1}^{+}}a_{\varphi (j)}\geq r,$$

$$m_{n+1}^{+}=l_{1}^{+}+l_{1}^{-}+\cdots +l_{n}^{+}+l_{n}^{-}+l_{n+1}^{+},$$

$$\sum _{j=1}^{m_{n}^{-}-1}a_{\varphi (j)}\geq r, \quad \sum _{j=1}^{m_{n}^{-}}a_{\varphi (j)}<r,$$

$$m_{n}^{-}=l_{1}^{+}+l_{1}^{-}+\cdots +l_{n}^{+}+l_{n}^{-}.$$

wiederholt. Damit gilt

$$r-\left\vert a_{\varphi (m_{n}^{-})}\right\vert <\sum _{j=1}^{m_{n}^{-}}a_{\varphi (j)}\leq \sum _{j=1}^{p}a_{\varphi (j)}\leq \sum _{j=1}^{m_{n+1}^{+}}a_{\varphi (j)}\leq r+a_{\varphi (m_{n+1}^{+})},$$

$$r-\left\vert a_{\varphi (m_{n+1}^{-})}\right\vert <\sum _{j=1}^{m_{n+1}^{-}}a_{\varphi (j)}\leq \sum _{j=1}^{p}a_{\varphi (j)}\leq \sum _{j=1}^{m_{n+1}^{+}}a_{\varphi (j)}\leq r+a_{\varphi (m_{n+1}^{+})},$$

für $m_{n}^{-}\leq p\leq m_{n+1}^{+}$ bzw. $m_{n+1}^{+}\leq p\leq m_{n+1}^{-}$. Da nach Konstruktion $\varphi (j)\to \infty$ für $j\to \infty$ sowie $m^{\pm }_{n}\to \infty$ für $n\to \infty$, so folgt aus der Voraussetzung $a_{k}\to 0$ für $k\to \infty$ damit auch

$$\sum _{j=1}^{p}a_{\varphi (j)}\to r$$$$\quad \mbox {für}\quad p\to \infty .$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.3.3.2   Vervollständigen Sie den Beweis für die Fälle $r<0$, $r=+\infty$, $r=-\infty$.