Zur Stetigkeit der Grenzfunktion.

Wir betrachten die metrischen Räume $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ und es sei $X\subset M_{1}$. Der metrische Raum $M_{2}$ sei vollständig.

Satz 2.3.2.1   Es sei $f_{n}:X\to M_{2}$, $n\in \mathbb{N}$, eine Funktionenfolge, so daß

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\varphi (x)$$$$\quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad x\in X$$

konvergiert. Ist für gegebenes $x^{*}\in X$ jede der Funktionen $f_{n}$ stetig im Punkt $x^{*}$, dann ist auch die Funktion $\varphi$ stetig im Punkt $x^{*}$ .

$\blacktriangleright$ Da $\varphi (x)$ nach Definition in allen Punkten $x\in$$\mbox {iso}(X)$ automatisch stetig ist, genügt es Punkte $x^{*}\in$$\mbox {acc}(X)\cap X$ zu betrachten. Aus der Stetigkeit von $f_{n}$ folgt dann

$$\lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)=f_{n}(x^{*}),\quad n\in \mathbb{N}.$$

Nach Satz 2.3.1.1 gilt

$$\lim _{x\to x^{*}}\varphi (x) = \lim _{x\to x^{*}}\left( \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right)$$

$$= \lim _{n\to \infty }\left( \lim _{x\to x^{*}}f_{n}(x)\right) =\lim _{n\to \infty }f_{n}(x^{*})=\varphi (x^{*}).$$

Damit ist $\varphi$ im Punkt $x^{*}$ stetig. $\blacktriangleleft$

Sind die Funktionen $f_{n}$ in allen Punkten $x\in X$ stetig, so gilt gleiches auch für die Funktion $\varphi$.