Es gibt keine universelle Vergleichsfunktion.

Das Vergleichskriterium führt auf die Frage, ob eine universelle Vergleichsfolge existiert, an Hand derer man über die Konvergenz jeder gegebenen Reihe nichtnegativer Summanden entscheiden kann. Der folgende Satz beantwortet diese Frage negativ:

Satz 1.4.5.1   Für jede konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}$ positiver Glieder kann man eine bestimmt gegen $+\infty$ divergente Folge positiver Zahlen $\{\alpha _{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ finden, so daß die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}p_{k}$ ebenfalls konvergiert.

Für jede divergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}$ positiver Glieder kann man eine gegen Null konvergente Folge positiver Zahlen $\{\beta _{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ finden, so daß die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}r_{k}$ ebenfalls divergiert.

$\blacktriangleright$ Wir beweisen die erste Aussage. Dazu setzen wir

$$R_{n}:=\sum _{k=n+1}^{\infty }p_{k}$$$$\quad \mbox {und\, damit}\quad p_{k}=R_{k-1}-R_{k}.$$

Die Folge $\{R_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ ist streng monoton fallend. Da die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}$ konvergiert, so gilt $\lim _{n\to \infty }R_{n}=0$. Wir setzen

$$p'_{k}=\alpha _{k}p_{k}=\sqrt{R_{k-1}}-\sqrt{R_{k}}>0\, ,\quad k\geq 1.$$

Dann folgt

$$\sum _{k=1}^{n}p'_{k}=-\sqrt{R_{n}}+\sqrt{R_{0}}$$

und wegen $\sqrt{R_{n}}\to 0$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{n}p'_{k}=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}p_{k}$. Gleichzeitig folgt

$$\alpha _{k}=\frac{p'_{k}}{p_{k}}=\frac{\sqrt{R_{k-1}}-\sqrt{R_{k}}}{R_{k-1}-R_{k}}=\frac{1}{\sqrt{R_{k-1}}+\sqrt{R_{k}}}.$$

Ebenfalls wegen $\sqrt{R_{n}}\to 0$ divergiert die Folge $\{\alpha _{k}\}_{k=1}^{\infty }$ bestimmt gegen $+\infty$. $\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.4.5.2   Beweisen Sie den zweiten Teil der Aussage.