Beschränkte lineare Operatoren.

Definition 3.2.3.1   Ein linearer Operator $T:D_{T}\to F$ heißt beschränkt, wenn eine endliche Konstante $C$ existiert, so daß

$$\Vert Tx\Vert _{F}\leq C\Vert x\Vert _{E},\quad x\in D_{T}.$$

Satz 3.2.3.2   Ein linearer Operator $T:D_{T}\to F$ ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

$\blacktriangleright$ Der Operator $T$ sei beschränkt. Für jede Folge $x_{k}\in E$ mit $x_{k}\to 0$ gilt $\Vert x_{k}\Vert _{E}\to 0$ und wegen

$$\Vert Tx_{k}\Vert _{F}\leq C\Vert x_{k}\Vert _{E}$$

auch $Tx_{k}\to 0=T0$ in $F$. Damit ist $T$ im Punkt $y^{*}=0\in D_{T}$ und somit auch auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.

Die Umkehrung beweisen wir indirekt. Es sei $T$ unbeschränkt. Dann existiert für jedes $k\in \mathbb{N}$ ein Element $x_{k}\in D_{T}$, $x_{k}\neq 0$, mit

$$\Vert Tx_{k}\Vert _{F}\geq k\Vert x_{k}\Vert _{E}\, .$$

Wir setzen $y_{k}=\Vert x_{k}\Vert _{E}^{-1}x_{k}$, $k\in \mathbb{N}$. Dann folgt $\Vert y_{k}\Vert _{E}=1$ für alle $k\in \mathbb{N}$ als auch

$$\Vert Ty_{k}\Vert _{F} = \frac{\Vert Ty_{k}\Vert _{F}}{\Vert y_{k}\Vert _{E}}=\frac{\left\... ...ight\Vert _{F}}{\left\Vert \frac{x_{k}}{\Vert x_{k}\Vert _{E}}\right\Vert _{E}}$$

$$= \frac{\Vert x_{k}\Vert _{E}}{\Vert ... ...ert Tx_{k}\Vert _{F}}{\Vert x_{k}\Vert _{E}}=A_{k}\geq k,\quad k\in \mathbb{N}.$$

Für $z_{k}=A^{-1}_{k}y_{k}$ folgt $\Vert z_{k}\Vert _{E}\leq k^{-1}\to 0$ und somit $z_{k}\to 0$. Gleichzeitig gilt

$$\Vert Tz_{k}\Vert _{E}=\Vert TA_{k}^{-1}y_{k}\Vert _{E}=\Vert A_{k}^{-1}Ty_{k}\Vert _{E}=A_{k}^{-1}\Vert Ty_{k}\Vert _{E}=A^{-1}_{k}A_{k}=1.$$

Damit haben wir eine Folge $z_{k}\in D_{T}$ mit $z_{k}\to 0$ gefunden, für welche $Tz_{k}$ nicht gegen $T0=0$ konvergiert. Also ist ein solcher Operator $T$ im Punkt $0\in D_{T}$ nicht stetig. $\blacktriangleleft$