Absolute und gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen.

Satz 2.11.3.1   Angenommen die Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ konvergiert für ein gewisses $z=z_{0}\in \mathbb{C}$. Dann konvergiert diese Reihe absolut für alle $z\in \mathbb{C}$ mit $\vert z\vert<z_{0}.$

$\blacktriangleright$ Nach Satz 2.11.2.1 besitzt $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ einen Konvergenzkreis mit dem Konvergenzradius $R$. Konvergiert diese Reihe für ein gewisses $z=z_{0}$, so gilt nach der Definition des Konvergenzkreises $\vert z_{0}\vert\leq R$. Dann erfüllt wie im Beweis von Satz 2.11.2.1 die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }\vert a_{k}z^{k}\vert$ das Wurzelkriterium für $\vert z\vert<\vert z_{0}\vert\leq R$ und damit ist $\sum _{k=0}^{\infty }\vert a_{k}z^{k}\vert$ konvergent. $\blacktriangleleft$

Korollar 2.11.3.2   Es sei $R>0$ der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$. Dann konvergiert diese Potenzreihe absolut im Inneren des Konvergenzkreises $U_{R}$.

Aufgabe 2.11.3.3   Beweisen Sie diese Aussage ausgehend von Satz 2.11.3.1!

Satz 2.11.3.4   Die Potenzreihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ besitze einen Konvergenzradius $R>0$. Dann konvergiert für jedes fixierte $R_{1}\in [0,R[$ die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ gleichmäßig bezüglich $z\in \overline{U_{R_{1}}}=\{z\in \mathbb{C}\vert\, \vert z\vert\leq R_{1}\}$.

$\blacktriangleright$ Da $R_{1}<R$, so konvergiert nach Korollar 2.11.3.2 die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}R_{1}^{k}$ absolut, d.h. $\sum _{k=0}^{\infty }\vert a_{k}\vert R_{1}^{k}$ ist konvergent. Wegen $\vert a_{k}z^{k}\vert\leq \vert a_{k}\vert R^{k}_{1}$ für $\vert z\vert\leq R_{1}$ folgt nach dem Majorantenkriterium von Weierstrass die gleichmäßige Konvergenz von $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ für $z\in \overline{U_{R_{1}}}$. $\blacktriangleleft$