Die Abelsche partielle Summation.

Next: Das Abelsche Kriterium. Up: Konvergenzkriterien für im Allgemeinen Previous: Konvergenzkriterien für im Allgemeinen Contents

Die Abelsche partielle Summation.

Wir betrachten Summen vom Typ

$% latex2html id marker 23557 $\displaystyle S=\sum _{k=1}^{m}A_{k}\beta _{k}=A_{1}\beta _{1}+\ldots +A_{m}\beta _{m},\quad A_{k},\beta _{k}\in \mathbb{R}.$$

Es sei $\alpha _{k}=A_{k+1}-A_{k}$ für $k\geq 1$ . Dann gilt $A_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}\alpha _{k}+A_{1}$ . Wir betrachten außerdem die Partialsummen $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}$ . Wegen

$\displaystyle \beta _{k}=B_{k}-B_{k-1}$ $\displaystyle \quad \mbox {für}\quad k\geq 2\quad \mbox {sowie}\quad \beta _{1}=A_{1}$

kann man die Summe $S=\sum _{k=1}^{m}A_{k}\beta _{k}$ wie folgt umschreiben:

$\displaystyle S$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_{1}B_{1}+\sum _{k=2}^{m}A_{k}(B_{k}-B_{k-1})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle A_{1}B_{1}+A_{2}(B_{2}-B_{1})+\ldots +A_{m}(B_{m}-B_{m-1})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A_{1}-A_{2})B_{1}+(A_{2}-A_{3})B_{2}+\ldots +(A_{m-1}-A_{m})B_{m-1}+A_{m}B_{m}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum _{k=1}^{m-1}(A_{k}-A_{k+1})B_{k}+A_{m}B_{m}$