Die Abelsche partielle Summation.

Wir betrachten Summen vom Typ

$$S=\sum _{k=1}^{m}A_{k}\beta _{k}=A_{1}\beta _{1}+\ldots +A_{m}\beta _{m},\quad A_{k},\beta _{k}\in \mathbb{R}.$$

Es sei $\alpha _{k}=A_{k+1}-A_{k}$ für $k\geq 1$. Dann gilt $A_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}\alpha _{k}+A_{1}$. Wir betrachten außerdem die Partialsummen $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}$. Wegen

$$\beta _{k}=B_{k}-B_{k-1}$$$$\quad \mbox {für}\quad k\geq 2\quad \mbox {sowie}\quad \beta _{1}=A_{1}$$

kann man die Summe $S=\sum _{k=1}^{m}A_{k}\beta _{k}$ wie folgt umschreiben:

$$S = A_{1}B_{1}+\sum _{k=2}^{m}A_{k}(B_{k}-B_{k-1})$$

$$= A_{1}B_{1}+A_{2}(B_{2}-B_{1})+\ldots +A_{m}(B_{m}-B_{m-1})$$

$$= (A_{1}-A_{2})B_{1}+(A_{2}-A_{3})B_{2}+\ldots +(A_{m-1}-A_{m})B_{m-1}+A_{m}B_{m}$$

$$= \sum _{k=1}^{m-1}(A_{k}-A_{k+1})B_{k}+A_{m}B_{m}$$

Die daraus folgende Formel

$$S=\sum _{k=1}^{m}A_{k}\beta _{k}=A_{m}B_{m}-\sum _{k=1}^{m-1}\alpha _{k}B_{k}=A_{m}B_{m}+\sum _{k=1}^{m-1}(A_{k}-A_{k+1})B_{k}$$ (1.7.1.1)

ähnelt der Formel der partiellen Integration, wenn man die Folge $\{\beta _{k}\}$ mit $g'$, $\{B_{n}\}$ mit $g$, $\{A_{k}\}$ mit $f$ und $\{\alpha _{k}\}$ mit $f'$ assoziiert.