Der Umordnungssatz.

Der folgende Satz sagt aus, daß Konvergenz und Wert einer Reihe aus nichtnegativen Gliedern nicht von der Anordnung der Summanden abhängt.

Satz 1.3.2.1   Es sei $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ eine bijektive Abbildung, $a_{k}\geq 0$ sowie $b_{k}=a_{\varphi (k)}$, $k\in \mathbb{N}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ dann und nur dann, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Dabei gilt

$$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$$ (1.3.2.1)

$\blacktriangleright$ Fall 1: Angenommen, die Reihe $S=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Es sei $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ , $T_{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ und $m=\max \{\varphi (1),\ldots ,\varphi (n)\}$. Dann gilt

$$T_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{\varphi (k)}\leq \sum _{k=1}^{m}a_{k}=S_{m}\leq S.$$

Damit ist die Folge $\{T_{n}\}$ beschränkt. Aufgrund der Monotonität besitzt diese Folge einen Grenzwert $T=\lim _{n\to \infty }T_{n}\leq S$, d.h.

$$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=T\leq S=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$$

Umgekehrt betrachten wir $a_{k}=b_{\varphi ^{-1}(k)}$ und erhalten auf gleichem Wege $S\leq T$. Daraus folgt (1.3.2.1).

Fall 2 :Angenommen, die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergiert, d.h. $S_{n}\to +\infty$. Damit existiert für jedes gegebene $C>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ mit

$$S_{N}=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\geq C.$$

Es sei $m=\max \{\varphi ^{-1}(1),\ldots ,\varphi ^{-1}(N)\}$. Dann gilt

$$C\leq S_{N}=\sum _{k=1}^{N}a_{k}=\sum _{k=1}^{N}b_{\varphi ^{-1}(k)}\leq \sum _{l=1}^{m}b_{l}=T_{m}.$$

Also divergiert auch die Folge $\{T_{m}\}$ und damit die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$. $\blacktriangleleft$