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(I) Es sei eine lineare stetige Abbildung zwischen
den normierten Räumen und . Dann gilt für beliebiges
und damit
für beliebiges
.
Die Frechet-Ableitung eines linearen stetigen Operators ist also dieser
Operator selbst.
Ist insbesondere
und
,
so läßt sich die Abbildung
durch eine Matrix
vom Typ darstellen. Gleiches gilt dann für die Ableitung
.
(II) Es sei
und
sowie
Für beliebiges
und
gilt
Damit gilt
.
Wir werden uns später im Einzelnen mit der Berechnung von Frechet-Ableitungen
von Funktionen
beschäftigen.
(III) Es sei
und
mit . Wir betrachten die Abbildung gegeben
durch den Ausdruck
welcher eine Kurzschreibweise für
|
(3.3.3.1) |
darstellt. Dabei verstehen wir
und
als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung in den Randpunkten des
Intervalles.
Die Abbildung weist also jedem Punkt , d.h.
einer Funktion
, einen Bildpunkt
, d.h. eine Funktion
zu. Bei der Berechnung der Frechet-Ableitung von im Punkt
müssen wir die Funktion
um ein Element , d.h. eine Funktion
verschieben. Dabei muß klein bezüglich der -Norm
sein. Man erhält3.7
Wir stellen zunächst fest, daß
und damit
für
. Also gilt
|
(3.3.3.2) |
wobei der Operator
folgendermaßen wirkt
Dabei bildet er
nach
ab. Tatsächlich, aus
folgt
und damit
. Desweiteren ist
offensichtlich linear im Argument . Es bleibt zu zeigen, daß
stetig von
nach
wirkt. Dies folgt aus der Abschätzung
mit
.
Aus der Darstellung (3.3.3.2) folgt nun,
daß
die Frechet-Ableitung der Abbildung im Punkt
ist.
Aufgabe 3.3.3.1
Es sei
und
und man betrachte den Operator
gegeben
durch
wobei
und
als rechts -
und linksseitige Ableitungen in den Randpunkten zu verstehen sind.
Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von
.
Aufgabe 3.3.3.2
Es sei
und
. Wir
betrachten die Abbildung
gegeben durch
Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von
.
Hinweis: Zeigen Sie in beiden Fällen, daß und lineare
stetige Operatoren zwischen den jeweiligen Räumen und
sind und verwenden Sie Beispiel (I).
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2003-09-05