Beispiele.

 

(I) Es sei $A$ eine lineare stetige Abbildung zwischen den normierten Räumen $E$ und $F$. Dann gilt für beliebiges $x_{0}\in E$

$$A(x_{0}+h)=Ax_{0}+Ah$$

und damit $A^{\prime }(x_{0})=A$ für beliebiges $x_{0}\in E$. Die Frechet-Ableitung eines linearen stetigen Operators ist also dieser Operator selbst.

Ist insbesondere $E=\mathbb{R}^{n}$ und $F=\mathbb{R}^{m}$, so läßt sich die Abbildung $A\in \mathbb{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ durch eine Matrix

$$a=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right)$$

vom Typ $(m,n)$ darstellen. Gleiches gilt dann für die Ableitung $A^{\prime }(x_{0})=A=a$.

 

(II) Es sei $E=\mathbb{R}^{2}$ und $F=\mathbb{R}$ sowie

$$f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$$$$\quad \mbox {gegeben\, durch}\quad f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}.$$

Für beliebiges $x_{0}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})\in \mathbb{R}^{2}$ und $h=(h_{1},h_{2})\in \mathbb{R}^{2}$ gilt

$$f(x_{0}+h) = (x_{1}^{(0)}+h_{1})^{2}+(x_{2}^{(0)}+h_{2})^{2}+(x_{1}^{(0)}+h_{1})$$

$$= (x_{1}^{(0)})^{2}+(x_{2}^{(0)})^{2}+x_{1}^{(0)}$$

$$\qquad +2x_{1}^{(0)}h_{1}+2x_{2}^{(0)}h_{2}+h_{1}+h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$$

$$= f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})+(\begin{array}{cc} x_{1}^{(0)} & 2x_{2... ...egin{array}{c} h_{1}\\ h_{2} \end{array}\right) +o(\Vert h\Vert ). \end{array}$$

Damit gilt $f^{\prime }(x_{0})=(2x_{1}^{(0)}\, \, 2x_{2}^{(0)}+1)$. Wir werden uns später im Einzelnen mit der Berechnung von Frechet-Ableitungen von Funktionen $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}$ beschäftigen.

 

(III) Es sei $E=C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ und $F=C([a,b],\mathbb{R})$ mit $a<b$. Wir betrachten die Abbildung $KE\to F$ gegeben durch den Ausdruck

$$Ky=y^{2}+3y+2(y^{\prime })^{2},$$

welcher eine Kurzschreibweise für

$$(Ky)(x)=(y(x))^{2}+3y(x)+2(y'(x))^{2},\quad x\in [a,b],$$ (3.3.3.1)

darstellt. Dabei verstehen wir $y^{\prime }(a)$ und $y^{\prime }(b)$ als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung in den Randpunkten des Intervalles.

Die Abbildung $K$ weist also jedem Punkt $y\in E$, d.h. einer Funktion $y\in C^{1}([a,b],\mathbb{R})$, einen Bildpunkt $Ky\in F$, d.h. eine Funktion $Ky\in C([a,b],\mathbb{R})$ zu. Bei der Berechnung der Frechet-Ableitung von $K$ im Punkt $y_{0}\in E$ müssen wir die Funktion $y_{0}\in C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ um ein Element $h\in E$, d.h. eine Funktion $h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ verschieben. Dabei muß $h$ klein bezüglich der $C^{1}$-Norm sein. Man erhält^3.7

$$K(y_{0}+h) = (y_{0}+h)^{2}+3(y_{0}+h)+2((y_{0}+h)^{\prime })^{2}$$

$$= y_{0}^{2}+2y_{0}h+h^{2}+3y_{0}+3h+2(y_{0}^{\prime }+h^{\prime })^{2}$$

$$= y_{0}^{2}+3y_{0}+2(y_{0}^{\prime })^{2}+(2y_{0}+3)h+2y_{0}^{\prime }h^{\prime }+h^{2}+2(h^{\prime })^{2}$$

$$= Ky_{0}+\left( 2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx}\right) h+h^{2}+2(h^{\prime })^{2}.$$

Wir stellen zunächst fest, daß

$$\Vert h^{2}+2(h^{\prime })^{2}\Vert _{F} = \Vert h^{2}+2(h^{\prime })^{2}\Vert... ...hbb{R})}=\max _{x\in [a,b]}\left\vert h^{2}(x)+2(h^{\prime }(x))^{2}\right\vert$$

$$\leq \left( \max _{x\in [a,b]}\left\vert h(x)\right\vert \right) ^{2}+2\left( \max _{x\in [a,b]}\left\vert h^{\prime }(x)\right\vert \right) ^{2}$$

$$\leq 3\left( \max _{x\in [a,b]}\vert h(x... ...rt h^{\prime }(x)\vert\right) ^{2}=3\Vert h\Vert _{C^{1}([a,b],\mathbb{R})}^{2}$$

und damit $h^{2}+2(h^{\prime })^{2}=o(\Vert h\Vert _{E})$ für $h\to 0$. Also gilt

$$K(y_{0}+h)=Ky_{0}+Th+o(\Vert h\Vert _{E}),\quad h\to 0,$$ (3.3.3.2)

wobei der Operator $T=2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx}$ folgendermaßen wirkt

$$(Th)(x)=2y_{0}(x)h(x)+3h(x)+2y_{0}^{\prime }(x)h^{\prime }(x),\, x\in [a,b],\, h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}).$$

Dabei bildet er $E=C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ nach $F=C([a,b],\mathbb{R})$ ab. Tatsächlich, aus $y_{0},h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ folgt $y_{0},h,y_{0}^{\prime },h^{\prime }\in C([a,b],\mathbb{R})$ und damit $Th\in C([a,b],\mathbb{R})$. Desweiteren ist $T$ offensichtlich linear im Argument $h$. Es bleibt zu zeigen, daß $T$ stetig von $E=C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ nach $F=C([a,b],\mathbb{R})$ wirkt. Dies folgt aus der Abschätzung

$$\Vert Th\Vert _{F} = \Vert Th\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})... ...x _{x\in [a,b]}\vert 2y_{0}(x)h(x)+3h(x)+2y_{0}^{\prime }(x)h^{\prime }(x)\vert$$

$$\leq \max _{x\in [a,b]}\vert(2y_{0}(x)+3)\vert\cdot \vert\max _{x\in [a,b]}\vert h(x)\vert+$$

$$\qquad +2\max _{x\in [a,b]}\vert y_{0}^{\prime }(x)\vert\cdot \max _{x\in [a,b]}\vert h^{\prime }(x)\vert$$

$$\leq \Vert 2y_{0}+3\Vert _{C([a,b],\math... ...rime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}\Vert h^{\prime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}$$

$$\leq C\Vert h\Vert _{C^{1}([a,b],\mathbb{R})}=C\Vert h\Vert _{E}$$

mit $C=\max \left\{ \Vert 2y_{0}+3\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})},\Vert 2y_{0}^{\prime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}\right\}$. Aus der Darstellung (3.3.3.2) folgt nun, daß

$$T=2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx}\in \mathcal{L}\left( C^{1}([a,b],\mathbb{R}),C([a,b],\mathbb{R})\right)$$

die Frechet-Ableitung der Abbildung $K$ im Punkt $y_{0}$ ist.

Aufgabe 3.3.3.1   Es sei $E=C^{1}([a,b],\mathbb{R})$ und $F=C([a,b],\mathbb{R})$ und man betrachte den Operator $d=\frac{d}{dx}:E\to F$ gegeben durch

$$(dy)(x)=y^{\prime }(x),\quad x\in [a,b],$$

wobei $y^{\prime }(a)$ und $y^{\prime }(b)$ als rechts - und linksseitige Ableitungen in den Randpunkten zu verstehen sind. Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $d$.

 

Aufgabe 3.3.3.2   Es sei $E=C([a,b],\mathbb{R})$ und $F=\mathbb{R}$. Wir betrachten die Abbildung $J:E\to F$ gegeben durch

$$Jy=\int _{a}^{b}y(x)dx.$$

Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $J$.

Hinweis: Zeigen Sie in beiden Fällen, daß $d$ und $J$ lineare stetige Operatoren zwischen den jeweiligen Räumen $E$ und $F$ sind und verwenden Sie Beispiel (I).