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Beispiele.

 

(I) Es sei $ A $ eine lineare stetige Abbildung zwischen den normierten Räumen $ E $ und $ F $. Dann gilt für beliebiges $ x_{0}\in E $

$\displaystyle A(x_{0}+h)=Ax_{0}+Ah$

und damit $ A^{\prime }(x_{0})=A $ für beliebiges $ x_{0}\in E $. Die Frechet-Ableitung eines linearen stetigen Operators ist also dieser Operator selbst.

Ist insbesondere % latex2html id marker 30335
$ E=\mathbb{R}^{n} $ und % latex2html id marker 30337
$ F=\mathbb{R}^{m} $, so läßt sich die Abbildung % latex2html id marker 30339
$ A\in \mathbb{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}) $ durch eine Matrix

$\displaystyle a=\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{array}\right) $

vom Typ $ (m,n) $ darstellen. Gleiches gilt dann für die Ableitung $ A^{\prime }(x_{0})=A=a $.

 

(II) Es sei % latex2html id marker 30347
$ E=\mathbb{R}^{2} $ und % latex2html id marker 30349
$ F=\mathbb{R} $ sowie

% latex2html id marker 30351
$\displaystyle f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$% latex2html id marker 30352
$\displaystyle \quad \mbox {gegeben\, durch}\quad f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}.$

Für beliebiges % latex2html id marker 30354
$ x_{0}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})\in \mathbb{R}^{2} $ und % latex2html id marker 30356
$ h=(h_{1},h_{2})\in \mathbb{R}^{2} $ gilt
$\displaystyle f(x_{0}+h)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_{1}^{(0)}+h_{1})^{2}+(x_{2}^{(0)}+h_{2})^{2}+(x_{1}^{(0)}+h_{1})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_{1}^{(0)})^{2}+(x_{2}^{(0)})^{2}+x_{1}^{(0)}$  
    $\displaystyle \qquad +2x_{1}^{(0)}h_{1}+2x_{2}^{(0)}h_{2}+h_{1}+h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)})+(\begin{array}{cc}
x_{1}^{(0)} & 2x_{2...
...egin{array}{c}
h_{1}\\
h_{2}
\end{array}\right) +o(\Vert h\Vert ).
\end{array}$  

Damit gilt $ f^{\prime }(x_{0})=(2x_{1}^{(0)}\, \, 2x_{2}^{(0)}+1) $. Wir werden uns später im Einzelnen mit der Berechnung von Frechet-Ableitungen von Funktionen % latex2html id marker 30377
$ f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m} $ beschäftigen.

 

(III) Es sei % latex2html id marker 30379
$ E=C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ und % latex2html id marker 30381
$ F=C([a,b],\mathbb{R}) $ mit $ a<b $. Wir betrachten die Abbildung $ KE\to F $ gegeben durch den Ausdruck

$\displaystyle Ky=y^{2}+3y+2(y^{\prime })^{2},$

welcher eine Kurzschreibweise für

$\displaystyle (Ky)(x)=(y(x))^{2}+3y(x)+2(y'(x))^{2},\quad x\in [a,b],$ (3.3.3.1)

darstellt. Dabei verstehen wir $ y^{\prime }(a) $ und $ y^{\prime }(b) $ als rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung in den Randpunkten des Intervalles.

Die Abbildung $ K $ weist also jedem Punkt $ y\in E $, d.h. einer Funktion % latex2html id marker 30401
$ y\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $, einen Bildpunkt $ Ky\in F $, d.h. eine Funktion % latex2html id marker 30405
$ Ky\in C([a,b],\mathbb{R}) $ zu. Bei der Berechnung der Frechet-Ableitung von $ K $ im Punkt $ y_{0}\in E $ müssen wir die Funktion % latex2html id marker 30411
$ y_{0}\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ um ein Element $ h\in E $, d.h. eine Funktion % latex2html id marker 30415
$ h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ verschieben. Dabei muß $ h $ klein bezüglich der $ C^{1} $-Norm sein. Man erhält3.7

$\displaystyle K(y_{0}+h)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (y_{0}+h)^{2}+3(y_{0}+h)+2((y_{0}+h)^{\prime })^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y_{0}^{2}+2y_{0}h+h^{2}+3y_{0}+3h+2(y_{0}^{\prime }+h^{\prime })^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle y_{0}^{2}+3y_{0}+2(y_{0}^{\prime })^{2}+(2y_{0}+3)h+2y_{0}^{\prime }h^{\prime }+h^{2}+2(h^{\prime })^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle Ky_{0}+\left( 2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx}\right) h+h^{2}+2(h^{\prime })^{2}.$  

Wir stellen zunächst fest, daß
$\displaystyle \Vert h^{2}+2(h^{\prime })^{2}\Vert _{F}$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 30447
$\displaystyle \Vert h^{2}+2(h^{\prime })^{2}\Vert...
...hbb{R})}=\max _{x\in [a,b]}\left\vert h^{2}(x)+2(h^{\prime }(x))^{2}\right\vert$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \left( \max _{x\in [a,b]}\left\vert h(x)\right\vert \right) ^{2}+2\left( \max _{x\in [a,b]}\left\vert h^{\prime }(x)\right\vert \right) ^{2}$  
  $\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 30455
$\displaystyle 3\left( \max _{x\in [a,b]}\vert h(x...
...rt h^{\prime }(x)\vert\right) ^{2}=3\Vert h\Vert _{C^{1}([a,b],\mathbb{R})}^{2}$  

und damit $ h^{2}+2(h^{\prime })^{2}=o(\Vert h\Vert _{E}) $ für $ h\to 0 $. Also gilt

$\displaystyle K(y_{0}+h)=Ky_{0}+Th+o(\Vert h\Vert _{E}),\quad h\to 0,$ (3.3.3.2)

wobei der Operator $ T=2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx} $ folgendermaßen wirkt

% latex2html id marker 30467
$\displaystyle (Th)(x)=2y_{0}(x)h(x)+3h(x)+2y_{0}^{\prime }(x)h^{\prime }(x),\, x\in [a,b],\, h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}).$

Dabei bildet er % latex2html id marker 30469
$ E=C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ nach % latex2html id marker 30471
$ F=C([a,b],\mathbb{R}) $ ab. Tatsächlich, aus % latex2html id marker 30473
$ y_{0},h\in C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ folgt % latex2html id marker 30475
$ y_{0},h,y_{0}^{\prime },h^{\prime }\in C([a,b],\mathbb{R}) $ und damit % latex2html id marker 30477
$ Th\in C([a,b],\mathbb{R}) $. Desweiteren ist $ T $ offensichtlich linear im Argument $ h $. Es bleibt zu zeigen, daß $ T $ stetig von % latex2html id marker 30485
$ E=C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ nach % latex2html id marker 30487
$ F=C([a,b],\mathbb{R}) $ wirkt. Dies folgt aus der Abschätzung
$\displaystyle \Vert Th\Vert _{F}$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 30494
$\displaystyle \Vert Th\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})...
...x _{x\in [a,b]}\vert 2y_{0}(x)h(x)+3h(x)+2y_{0}^{\prime }(x)h^{\prime }(x)\vert$  
  $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \max _{x\in [a,b]}\vert(2y_{0}(x)+3)\vert\cdot \vert\max _{x\in [a,b]}\vert h(x)\vert+$  
    $\displaystyle \qquad +2\max _{x\in [a,b]}\vert y_{0}^{\prime }(x)\vert\cdot \max _{x\in [a,b]}\vert h^{\prime }(x)\vert$  
  $\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 30504
$\displaystyle \Vert 2y_{0}+3\Vert _{C([a,b],\math...
...rime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}\Vert h^{\prime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}$  
  $\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 30508
$\displaystyle C\Vert h\Vert _{C^{1}([a,b],\mathbb{R})}=C\Vert h\Vert _{E}$  

mit % latex2html id marker 30510
$ C=\max \left\{ \Vert 2y_{0}+3\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})},\Vert 2y_{0}^{\prime }\Vert _{C([a,b],\mathbb{R})}\right\} $. Aus der Darstellung (3.3.3.2) folgt nun, daß

% latex2html id marker 30512
$\displaystyle T=2y_{0}+3+2y_{0}^{\prime }\frac{d}{dx}\in \mathcal{L}\left( C^{1}([a,b],\mathbb{R}),C([a,b],\mathbb{R})\right) $

die Frechet-Ableitung der Abbildung $ K $ im Punkt $ y_{0} $ ist.

Aufgabe 3.3.3.1   Es sei % latex2html id marker 30524
$ E=C^{1}([a,b],\mathbb{R}) $ und % latex2html id marker 30526
$ F=C([a,b],\mathbb{R}) $ und man betrachte den Operator $ d=\frac{d}{dx}:E\to F $ gegeben durch

$\displaystyle (dy)(x)=y^{\prime }(x),\quad x\in [a,b],$

wobei $ y^{\prime }(a) $ und $ y^{\prime }(b) $ als rechts - und linksseitige Ableitungen in den Randpunkten zu verstehen sind. Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $ d $.

 

Aufgabe 3.3.3.2   Es sei % latex2html id marker 30544
$ E=C([a,b],\mathbb{R}) $ und % latex2html id marker 30546
$ F=\mathbb{R} $. Wir betrachten die Abbildung $ J:E\to F $ gegeben durch

$\displaystyle Jy=\int _{a}^{b}y(x)dx.$

Berechnen Sie die Frechet-Ableitung von $ J $.

Hinweis: Zeigen Sie in beiden Fällen, daß $ d $ und $ J $ lineare stetige Operatoren zwischen den jeweiligen Räumen $ E $ und $ F $ sind und verwenden Sie Beispiel (I).


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2003-09-05