Eine hinreichende Bedingung zur Existenz der Frechet- Ableitung.

Für die Analysis nichtlinearer Abbildungen ist deren lokale Approximation durch affine Abbildungen und damit nach (3.3.1.1) das Konzept der Frechet-Ableitung von zentraler Bedeutung. Auf der anderen Seite kann man die praktische Berechnung von Ableitungen im Wesentlichen nur durch die Bestimmung von Richtungsderivaten, d.h. die Differentation in einer Variablen durchführen. Die Beispiele 3.4.3.2 und 3.4.3.1 besagen, daß man aus der Existenz der Richtungsableitungen oder sogar der schwachen Ableitung in einem Punkt jedoch nicht auf die Frechet-Differenzierbarkeit einer Funktion in diesem Punkt schließen kann. Dieser Sachverhalt könnte die Anwendbarkeit der Differentialrechnung in mehreren Variablen stark beeinträchtigen, würde nicht folgender Satz eine praktikable hinreichende Bedingung für die Existenz der Frechet-Ableitung liefern:

Satz 3.4.4.1   Es sei $U_{\varepsilon }(x_{0})=\{x\in E\vert\, \Vert x-x_{0}\Vert _{E}<\varepsilon \}$ mit $U_{\varepsilon }(x_{0})\subset U\subset E$, $\varepsilon >0$, eine offene Kugel um den Punkt $x_{0}\in$$\mbox {int}(U)$. Die Funktion $f:U\to F$ sei in jedem Punkt $x\in U_{\varepsilon }(x_{0})$ schwach differenzierbar und die Abbildung

$$f'_{s}(\cdot ):U_{\varepsilon }(x_{0})\to \mathcal{L}(E,F)$$$$\quad \mbox {gegeben\, durch}\quad x\mapsto f'_{s}(x)$$

sei im Punkt $x_{0}$ stetig von $U_{\varepsilon }(x_{0})\subset E$ nach $\mathcal {L}(E,F)$. Dann ist die Funktion $f$ im Punkt $x_{0}$ Frechet-differenzierbar und es gilt

$$f'(x_{0})=f'_{s}(x_{0}).$$

Wir werden den Beweis dieses Satzes im nächsten Abschnitt führen.