Kompaktheit in endlich- und unendlichdimensionalen Räumen.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen endlich- und unendlichdimensionalen Räumen besteht bei der Beschreibung kompakter Mengen. Nach dem Satz von Bolzano ist eine Teilmenge $X$ von $\mathbb{K}^{n}$, $n\in \mathbb{N}$, genau dann kompakt, wenn $X$ beschränkt und abgeschlossen ist. Insbesondere ist damit die abgeschlossene Einheitskugel

$$B_{\mathbb{K}^{n}}=\{x\in \mathbb{K}^{n}\vert\, \Vert x\Vert _{\mathbb{K}^{n}}\leq 1\}$$

kompakt.

Das Kompaktheitskriterium von Bolzano gilt nicht im unendlichdimensionalen Fall, wie folgendes Beispiel illustriert: Wir betrachten die abgeschlossene Einheitskugel

$$B_{C([0,1],\mathbb{K})}=\{f\vert\, \Vert f\Vert _{C}\leq 1\}$$

im Banachraum $C([0,1],\mathbb{K})$. Es sei $\{u_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ die in (3.1.2.1)-(3.1.2.2) definierte Folge von Funktionen $u_{k}\in C([0,1],\mathbb{K})$. Wir betrachten eine beliebige Teilfolge $\{u_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}}$ dieser Folge. Dann gilt wegen $k_{j}\neq k_{l}$ für $j\neq l$ auch

$$\Vert u_{k_{j}}-u_{k_{l}}\Vert _{C}=\max _{x\in [0,1]}\left\vert u_{k_{j}}(x)-u_{k_{l}}(x)\right\vert =1$$

für beliebige $j\neq l$, d.h. $\{u_{k_{j}}\}_{j\in \mathbb{N}}$ ist keine Cauchy-Folge in $C([0,1],\mathbb{K})$ und besitzt damit keinen Grenzwert in $C([0,1],\mathbb{K})$. Damit ist $B_{C([0,1],\mathbb{K})}$ nicht kompakt.