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Es sei
, , eine im Punkt
beliebig oft reell differenzierbare Funktion. Die Taylorsche
Formel bezüglich des Punktes sagt aus, daß
|
(2.11.6.1) |
Dies erlaubt eine Approximation von bis auf eine beliebig
vorgegebene Ordnung durch ein Polynom
für . Auf der anderen Seite bedeutet dies aber nicht,
daß die Partialsummen auch nur für ein bestimmtes
fixiertes konvergieren muß.
Betrachten wir die sogenannte Taylorreihe
genauer. Besitzt diese Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius
, so konvergiert diese Reihe
für alle komplexen mit . Dann ist die Funktion
nach Satz 2.11.5.1 insbesondere
beliebig oft im Punkt komplex differenzierbar. Formel
(2.11.5.1) gibt dann
Damit stimmen die Taylorkoeffizienten der Funktion im
Punkt mit denen der Funktion im Punkt
überein; beide Funktionen besitzen bezüglich des Punktes
ein und dieselbe Taylorentwicklung.
Wir unterstreichen, das letzteres nicht notwendigerweise bedeutet,
daß die Funktionen und auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich
übereinstimmen. Als Beispiel betrachte man die Funktion
Man verifiziert leicht, daß im Punkt beliebig
oft reell differenzierbar ist und dabei
gilt. Damit ergibt sich die entsprechende Taylorreihe
für alle
, was für reelle Argumente offensichtlich
nicht mit der Funktion übereinstimmt.
Aus (2.11.6.1) sieht man hingegen, daß
genau dann gilt, wenn
für
.
In diesem Fall sagt man, daß sich die Funktion im Punkt
durch seine Taylorreihe (bezüglich ) darstellen läßt.
Der nächste Satz liefert ein Kriterium für diese Eigenschaft:
Als erstes stellen wir fest, das die Potenzreihe
wegen
den Konvergenzradius
besitzt. Insbesondere konvergiert diese Reihe für alle
.
Zur Abschätzung des Restgliedes verwenden wir die Formel
Für und folgt
und damit
Ist eine Funktion in einer gewissen Umgebung von durch
ihre Taylorreihe darstellbar, so konvergiert nach der allgemeinen
Theorie der Potenzreihen die Taylorreihe im Inneren des Konvergenzkreises
mit dem Konvergenzradius absolut, in jedem
mit gleichmäßig und die Reihe ist in beliebig
oft gliedweise komplex differenzierbar.
Man kann die oben gegebenen Betrachtungen sofort auf Taylorreihen
bezüglich eines Punktes
verallgemeinern.
Gilt für
,
,
so sagt man, daß die Funktion in der Umgebung
von durch ihre Taylorreihe darstellbar ist.
Zum Abschluß geben wir noch folgende Definitionen:
Definition 2.11.6.2
Es sei
eine offene Teilmenge in
. Wir nennen
zusammenhängend, wenn zu beliebigen
eine Jordansche Kurve endlicher Länge
existiert,
welche
und
verbindet.
Definition 2.11.6.3
Es sei
eine offene, zusammenhängende Teilmenge von
.
Ist eine Funktion
in einer gewissen Umgebung
,
,
jedes beliebigen Punktes
durch ihre Taylorreihe
darstellbar, so nennt man
eine
analytische Funktion
in
.
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2003-09-05