Die Taylorreihe.

Es sei $f:\, ]-R,R[\, \to \mathbb{C}$, $R>0$, eine im Punkt $x_{0}=0$ beliebig oft reell differenzierbare Funktion. Die Taylorsche Formel bezüglich des Punktes $x_{0}=0$ sagt aus, daß

$$f(x)=T_{n}(x)+r_{n}(0;x) \quad \mbox {mit}\quad T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k},\, r_{n}(0;x)\stackrel{x\to 0}{=}o(x^{n}).$$ (2.11.6.1)

Dies erlaubt eine Approximation von $f$ bis auf eine beliebig vorgegebene Ordnung $o(x^{n})$ durch ein Polynom $T_{n}(x)$ für $x\to 0$. Auf der anderen Seite bedeutet dies aber nicht, daß die Partialsummen $T_{n}(x)$ auch nur für ein bestimmtes fixiertes $x\neq 0$ konvergieren muß.

Betrachten wir die sogenannte Taylorreihe

$$t(x)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!},$$

genauer. Besitzt diese Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius $R>0$, so konvergiert diese Reihe $t(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ für alle komplexen $z$ mit $\vert z\vert<R$. Dann ist die Funktion $t(z)$ nach Satz 2.11.5.1 insbesondere beliebig oft im Punkt $z_{0}=0$ komplex differenzierbar. Formel (2.11.5.1) gibt dann

$$\frac{t^{(n)}(0)}{n!}=a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},\quad n\in \mathbb{N}.$$

Damit stimmen die Taylorkoeffizienten der Funktion $t(z)$ im Punkt $0$ mit denen der Funktion $f(x)$ im Punkt $0$ überein; beide Funktionen besitzen bezüglich des Punktes $x_{0}=0$ ein und dieselbe Taylorentwicklung.

Wir unterstreichen, das letzteres nicht notwendigerweise bedeutet, daß die Funktionen $t$ und $f$ auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen. Als Beispiel betrachte man die Funktion

$$f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$$$$\quad \mbox {für}\quad x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\quad \mbox {und}\quad f(0)=0.$$

Man verifiziert leicht, daß $f$ im Punkt $x=0$ beliebig oft reell differenzierbar ist und dabei

$$f^{(n)}(0)=0,\quad n\in \mathbb{N},$$

gilt. Damit ergibt sich die entsprechende Taylorreihe $t(z)=0$ für alle $z\in \mathbb{C}$, was für reelle Argumente offensichtlich nicht mit der Funktion $f$ übereinstimmt.

Aus (2.11.6.1) sieht man hingegen, daß

$$f(x)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$$

genau dann gilt, wenn $r_{n}(x)\to 0$ für $n\to \infty$. In diesem Fall sagt man, daß sich die Funktion $f$ im Punkt $x$ durch seine Taylorreihe (bezüglich $x_{0}=0$) darstellen läßt. Der nächste Satz liefert ein Kriterium für diese Eigenschaft:

Satz 2.11.6.1   Es sei $R$ eine positive Zahl, so daß zum einen die Funktion $f:[-R,R]\to \mathbb{C}$ beliebig oft differenzierbar ist und außerdem eine endliche Konstante $C$ existiert, so daß

$$\vert f(x)\vert+\vert f^{(k)}(x)\vert\leq C$$$$\quad \mbox {für\, alle}\quad k\in \mathbb{N},\quad x\in ]-R,R[\, .$$

Dann ist $f(x)$ für $x\in ]-R,R[$ durch seine Taylorreihe bezüglich $x_{0}=0$ darstellbar.

$\blacktriangleright$ Als erstes stellen wir fest, das die Potenzreihe

$$t(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$$$$\quad \mbox {mit}\quad a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$$

wegen $\vert a_{k}\vert\leq C/k!$ den Konvergenzradius $R=+\infty$ besitzt. Insbesondere konvergiert diese Reihe für alle $x\in \mathbb{R}$. Zur Abschätzung des Restgliedes verwenden wir die Formel

$$r_{n}(x_{0};h)=\frac{h^{n+1}}{n!}\int _{0}^{1}f^{(n+1)}(x+th)(1-t)^{n}dt,\quad h=x-x_{0}.$$

Für $x_{0}=0$ und $h=x$ folgt

$$\vert r_{n}(0;x)\vert\leq \frac{C\vert x\vert^{n+1}}{n!}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}dt\leq \frac{CR^{n+1}}{(n+1)!}$$

und damit

$$\vert r_{n}(0;x)\vert\to 0$$$$\quad \mbox {für}\quad n\to \infty .$$

$\blacktriangleleft$

Ist eine Funktion in einer gewissen Umgebung von $x_{0}=0$ durch ihre Taylorreihe darstellbar, so konvergiert nach der allgemeinen Theorie der Potenzreihen die Taylorreihe im Inneren des Konvergenzkreises mit dem Konvergenzradius $R$ absolut, in jedem $\overline{U_{R_{1}}}$ mit $R_{1}<R$ gleichmäßig und die Reihe ist in $U_{R}$ beliebig oft gliedweise komplex differenzierbar.

Man kann die oben gegebenen Betrachtungen sofort auf Taylorreihen

$$t(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}\, ,\quad a_{k}=\frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!},$$

bezüglich eines Punktes $z_{0}\in \mathbb{C}$ verallgemeinern. Gilt $f(z)=t(z)$ für $z\in U_{\varepsilon }(z_{0})$, $\varepsilon >0$, so sagt man, daß die Funktion $f$ in der Umgebung $U_{\varepsilon }(z_{0})$ von $z_{0}$ durch ihre Taylorreihe darstellbar ist.

Zum Abschluß geben wir noch folgende Definitionen:

Definition 2.11.6.2   Es sei $V$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{C}$. Wir nennen $V$ zusammenhängend, wenn zu beliebigen $z_{1},z_{2}\in V$ eine Jordansche Kurve endlicher Länge $\Gamma \subset V$ existiert, welche $z_{1}$ und $z_{2}$ verbindet.

 

Definition 2.11.6.3   Es sei $V$ eine offene, zusammenhängende Teilmenge von $\mathbb{C}$. Ist eine Funktion $f:V\to \mathbb{C}$ in einer gewissen Umgebung $U_{\varepsilon }(z_{0})$, $\varepsilon =\varepsilon (z_{0})>0$, jedes beliebigen Punktes $z_{0}\in V$ durch ihre Taylorreihe darstellbar, so nennt man $f$ eine analytische Funktion in $V$.