Offensichtlich folgt aus (3.2.2.2) sofort (3.2.2.1).
Sei umgekehrt in einem gegebenen Punkt
stetig. Wir zeigen, daß dann in jedem Punkt
stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge
mit
für
. Dann konvergiert
in gegen . Aus der Stetigkeit von in
folgt
für
.
Die Linearität von ergibt damit
Es genügt damit, die Stetigkeit eines linearen Operators auf seinem Definitionsgebiet in einem einzigen Punkt (z.B. ) zu überprüfen.