Zur Stetigkeit linearer Operatoren.

Definition 3.2.2.1   Die Stetigkeit eines Operators $T:D_{T}\to F$ in einem Punkt $y^{*}\in D_{T}$ ist wie üblich durch die Aussage

$$Ty^{*}=\lim _{y\to y^{*}}Ty$$

definiert. Wie in Analysis 1 gezeigt, ist dies äquivalent zur $\varepsilon$-$\delta$ Definition als auch zur sogenannten Folgendefinition: Für jede Folge $y_{n}\in D_{T}$, $y_{n}\to y^{*}$ gilt

$$\lim _{n\to \infty }Ty_{n}=Ty^{*}.$$

Satz 3.2.2.2   Es sei $T:D_{T}\to F$ ein linearer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

$$\quad T\, \, \mbox {ist\, in\, einem\, gewissen\, Punkt}\, y^{*}\in D_{T}\, \mbox {stetig.} \quad$$ (3.2.2.1)

$$\quad T\, \, \mbox {ist\, in\, allen\, Punkten}\, y\in D_{T}\, \mbox {stetig.} \quad$$ (3.2.2.2)

$\blacktriangleright$ Offensichtlich folgt aus (3.2.2.2) sofort (3.2.2.1).

Sei umgekehrt $T$ in einem gegebenen Punkt $y^{*}\in D_{T}$ stetig. Wir zeigen, daß dann $T$ in jedem Punkt $y^{**}\in D_{T}$ stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge $y_{n}\in D_{T}$ mit $y_{n}\stackrel{\Vert \cdot \Vert _{E}}{\to }y^{**}$ für $n\to \infty$. Dann konvergiert $z_{n}=y_{n}+y^{*}-y^{**}\in D_{T}$ in $E$ gegen $y^{*}$. Aus der Stetigkeit von $T$ in $y^{*}$ folgt $Tz_{n}\to Ty^{*}$ für $n\to \infty$. Die Linearität von $T$ ergibt damit

$$Ty_{n}-Ty^{**} = T(z_{n}-y^{*}+y^{**})-Ty^{**}$$

$$= Tz_{n}-Ty^{*}+Ty^{**}-Ty^{**}$$

$$= Tz_{n}-Ty^{*}\stackrel{n\to \infty }{\to }0.$$

Folglich ist $T$ in $y^{**}$ stetig und (3.2.2.1) impliziert (3.2.2.2). $\blacktriangleleft$

Es genügt damit, die Stetigkeit eines linearen Operators $T$ auf seinem Definitionsgebiet $D_{T}$ in einem einzigen Punkt (z.B. $y^{*}=0\in D_{T}$) zu überprüfen.