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Zur Stetigkeit.

Satz 2.8.2.1   Es gelte

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$\displaystyle f\in C([a,b]\times [c,d],\mathbb{R})$$\displaystyle \quad \mbox {sowie}\quad \alpha ,\beta \in C([a,b],[c,d]).$

Dann ist die Funktion

$\displaystyle J(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$

stetig in allen Punkten $ x\in [a,b] $.

$ \blacktriangleright $ Wir fixieren einen Punkt $ x^{*}\in [a,b] $ und setzen

$\displaystyle J(x)=J_{0}(x)+J_{+}(x)-J_{-}(x),\quad x\in [a,b],$ (2.8.2.1)

mit
$\displaystyle J_{0}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{\alpha (x^{*})}^{\beta (x^{*})}f(x,y)dy,$ (2.8.2.2)
$\displaystyle J_{+}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{\beta (x^{*})}^{\beta (x)}f(x,y)dy,$ (2.8.2.3)
$\displaystyle J_{-}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int _{\alpha (x^{*})}^{\alpha (x)}f(x,y)dy.$ (2.8.2.4)

Nach Satz 2.5.5.1 ist wegen % latex2html id marker 26218
$ f\in C([a,b]\times [\alpha (x^{*}),\beta (x^{*})],\mathbb{R}) $ das Integral $ J_{0}(x) $ in allen Punkten $ x\in [a,b] $ stetig und folglich

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)=J_{0}(x^{*})=J(x^{*}).$

Desweiteren ist $ f $ als stetige Funktion auf der kompakten Menge $ [a,b]\times [c,d] $ beschränkt, d.h.

$\displaystyle \vert f(x,y)\vert\leq M,\quad x\in [a,b],\quad y\in [c,d].$

Daraus folgt
$\displaystyle \vert J_{+}(x)\vert$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int _{\beta (x^{*})}^{\beta (x)}\vert f(x,y)\vert dy\leq M\vert\beta (x)-\beta (x^{*})\vert,$  
$\displaystyle \vert J_{-}(x)\vert$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \int _{\alpha (x^{*})}^{\alpha (x)}\vert f(x,y)\vert dy\leq M\vert\alpha (x)-\alpha (x^{*})\vert.$  

Da die Abbildungen $ \alpha $ und $ \beta $ insbesondere im Punkt $ x=x^{*} $ stetig sind, so folgt $ \alpha (x)-\alpha (x^{*})\to 0 $ und $ \beta (x)-\beta (x^{*})\to 0 $ für $ x\to x^{*} $ und damit

$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J_{+}(x)=0,\quad \lim _{x\to x^{*}}J_{-}(x)=0.$

Dies ergibt
$\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)+\lim _{x\to x^{*}}J_{+}(x)-\lim _{x\to x^{*}}J_{-}(x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)=J_{0}(x^{*})=J(x^{*}).$  

$ \blacktriangleleft $


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2003-09-05