Zur Stetigkeit.

Satz 2.8.2.1   Es gelte

$$f\in C([a,b]\times [c,d],\mathbb{R})$$$$\quad \mbox {sowie}\quad \alpha ,\beta \in C([a,b],[c,d]).$$

Dann ist die Funktion

$$J(x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy$$

stetig in allen Punkten $x\in [a,b]$.

$\blacktriangleright$ Wir fixieren einen Punkt $x^{*}\in [a,b]$ und setzen

$$J(x)=J_{0}(x)+J_{+}(x)-J_{-}(x),\quad x\in [a,b],$$ (2.8.2.1)

mit

$$J_{0}(x) = \int _{\alpha (x^{*})}^{\beta (x^{*})}f(x,y)dy,$$ (2.8.2.2)

$$J_{+}(x) = \int _{\beta (x^{*})}^{\beta (x)}f(x,y)dy,$$ (2.8.2.3)

$$J_{-}(x) = \int _{\alpha (x^{*})}^{\alpha (x)}f(x,y)dy.$$ (2.8.2.4)

Nach Satz 2.5.5.1 ist wegen $f\in C([a,b]\times [\alpha (x^{*}),\beta (x^{*})],\mathbb{R})$ das Integral $J_{0}(x)$ in allen Punkten $x\in [a,b]$ stetig und folglich

$$\lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)=J_{0}(x^{*})=J(x^{*}).$$

Desweiteren ist $f$ als stetige Funktion auf der kompakten Menge $[a,b]\times [c,d]$ beschränkt, d.h.

$$\vert f(x,y)\vert\leq M,\quad x\in [a,b],\quad y\in [c,d].$$

Daraus folgt

$$\vert J_{+}(x)\vert \leq \int _{\beta (x^{*})}^{\beta (x)}\vert f(x,y)\vert dy\leq M\vert\beta (x)-\beta (x^{*})\vert,$$

$$\vert J_{-}(x)\vert \leq \int _{\alpha (x^{*})}^{\alpha (x)}\vert f(x,y)\vert dy\leq M\vert\alpha (x)-\alpha (x^{*})\vert.$$

Da die Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ insbesondere im Punkt $x=x^{*}$ stetig sind, so folgt $\alpha (x)-\alpha (x^{*})\to 0$ und $\beta (x)-\beta (x^{*})\to 0$ für $x\to x^{*}$ und damit

$$\lim _{x\to x^{*}}J_{+}(x)=0,\quad \lim _{x\to x^{*}}J_{-}(x)=0.$$

Dies ergibt

$$\lim _{x\to x^{*}}J(x) = \lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)+\lim _{x\to x^{*}}J_{+}(x)-\lim _{x\to x^{*}}J_{-}(x)$$

$$= \lim _{x\to x^{*}}J_{0}(x)=J_{0}(x^{*})=J(x^{*}).$$

$\blacktriangleleft$