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Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

Folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Satz 1.2.3.1 (Additivität) und Satz 1.3.1.1 (Monotonität).

Satz 1.3.5.1   Es sei $ A $ eine abzählbare Menge, % latex2html id marker 21899
$ a,b:A\to \mathbb{N} $ sowie $ a_{\alpha }=a(\alpha )\geq 0 $, $ b_{\alpha }=b(\alpha )\geq 0 $.

Aus $ 0\leq a_{\alpha }\leq b_{\alpha } $ für alle $ \alpha \in A $ folgt

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }\leq \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }.$

Aus der Konvergenz von $ \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha } $ folgt die Konvergenz von $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $; aus der Divergenz von $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $ folgt die Divergenz von $ \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha } $.

Konvergieren beide Reihen $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $ und $ \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha } $, so konvergiert auch die Reihe $ \sum _{\alpha \in A}(a_{\alpha }+b_{\alpha }) $ und

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}(a_{\alpha }+b_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }.$

Für verallgemeinerte Reihen mit nichtnegativen Summanden gilt zudem eine Monotonitätseigenschaft bezüglich des Summationsbereiches:

Satz 1.3.5.2   Es sei $ A $ eine abzählbare Menge, $ A'\subset A $ und $ a_{\alpha }\geq 0 $ für $ \alpha \in A $. Dann folgt

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A'}a_{\alpha }\leq \sum _{a\in A}a_{\alpha }$

$ \blacktriangleright $ Es sei

$\displaystyle a'_{\alpha }:=\left\{ \begin{array}{ccc}
a_{\alpha } & \quad \mbo...
...'\\
0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A\setminus A'
\end{array}\right. ,$

und damit $ a'_{\alpha }\leq a_{\alpha } $ für alle $ \alpha \in A $. Dann folgt nach der oben bewiesenen Monotonität

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A'}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A'}a'_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}a'_{\alpha }\leq \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }.$

$ \blacktriangleleft $

Aufgabe 1.3.5.3   Analysieren Sie im obigen Beweis den anschaulich offensichtlichen Schritt $ \sum _{\alpha \in A'}a'_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}a'_{\alpha } $ im Detail und führen Sie einen formalen Nachweis!

Derselbe Schritt liegt auch dem Beweis der Additivität bezüglich des Summationsbereiches zugrunde.

Satz   Es sei $ A $ eine abzählbare Menge, $ A=A_{1}\cup A_{2} $ sowie $ A_{1}\cap A_{2}=\emptyset $. Gilt $ a_{\alpha }\geq 0 $ für $ \alpha \in A $ und konvergieren beide Reihen $ \sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha } $ sowie $ \sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha } $, so konvergiert auch $ \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha } $ und

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }.$

$ \blacktriangleright $ Wir setzen

$\displaystyle b_{\alpha }=\left\{ \begin{array}{ccc}
a_{\alpha } & \quad \mbox ...
...a \in A_{1}\\
0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A_{2}
\end{array}\right.$$\displaystyle \quad \mbox {und}\quad c_{\alpha }=\left\{ \begin{array}{ccc}
a_{...
...in A_{2}\\
0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A_{1}
\end{array}\right. .$

Dann gilt

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }$$\displaystyle \quad \mbox {und}\quad \sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }$

und aufgrund der Identität $ a_{\alpha }=b_{\alpha }+c_{\alpha } $, $ \alpha \in A $ sowie der Additivität von Reihen

$\displaystyle \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }+\...
...lpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }.$

$ \blacktriangleleft $


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2003-09-05