Wichtige Eigenschaften von verallgemeinerten Reihen mit nichtnegativen Gliedern.

Folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Satz 1.2.3.1 (Additivität) und Satz 1.3.1.1 (Monotonität).

Satz 1.3.5.1   Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $a,b:A\to \mathbb{N}$ sowie $a_{\alpha }=a(\alpha )\geq 0$, $b_{\alpha }=b(\alpha )\geq 0$.

Aus $0\leq a_{\alpha }\leq b_{\alpha }$ für alle $\alpha \in A$ folgt

$$\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }\leq \sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }.$$

Aus der Konvergenz von $\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }$ folgt die Konvergenz von $\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }$; aus der Divergenz von $\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }$ folgt die Divergenz von $\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }$.

Konvergieren beide Reihen $\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }$ und $\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }$, so konvergiert auch die Reihe $\sum _{\alpha \in A}(a_{\alpha }+b_{\alpha })$ und

$$\sum _{\alpha \in A}(a_{\alpha }+b_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }.$$

Für verallgemeinerte Reihen mit nichtnegativen Summanden gilt zudem eine Monotonitätseigenschaft bezüglich des Summationsbereiches:

Satz 1.3.5.2   Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $A'\subset A$ und $a_{\alpha }\geq 0$ für $\alpha \in A$. Dann folgt

$$\sum _{\alpha \in A'}a_{\alpha }\leq \sum _{a\in A}a_{\alpha }$$

$\blacktriangleright$ Es sei

$$a'_{\alpha }:=\left\{ \begin{array}{ccc} a_{\alpha } & \quad \mbo... ...'\\ 0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A\setminus A' \end{array}\right. ,$$

und damit $a'_{\alpha }\leq a_{\alpha }$ für alle $\alpha \in A$. Dann folgt nach der oben bewiesenen Monotonität

$$\sum _{\alpha \in A'}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A'}a'_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}a'_{\alpha }\leq \sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }.$$

$\blacktriangleleft$

Aufgabe 1.3.5.3   Analysieren Sie im obigen Beweis den anschaulich offensichtlichen Schritt $\sum _{\alpha \in A'}a'_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}a'_{\alpha }$ im Detail und führen Sie einen formalen Nachweis!

Derselbe Schritt liegt auch dem Beweis der Additivität bezüglich des Summationsbereiches zugrunde.

Satz   Es sei $A$ eine abzählbare Menge, $A=A_{1}\cup A_{2}$ sowie $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$. Gilt $a_{\alpha }\geq 0$ für $\alpha \in A$ und konvergieren beide Reihen $\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }$ sowie $\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }$, so konvergiert auch $\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }$ und

$$\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }.$$

$\blacktriangleright$ Wir setzen

$$b_{\alpha }=\left\{ \begin{array}{ccc} a_{\alpha } & \quad \mbox ... ...a \in A_{1}\\ 0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A_{2} \end{array}\right.$$$$\quad \mbox {und}\quad c_{\alpha }=\left\{ \begin{array}{ccc} a_{... ...in A_{2}\\ 0 & \quad \mbox {für}\quad & \alpha \in A_{1} \end{array}\right. .$$

Dann gilt

$$\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }$$$$\quad \mbox {und}\quad \sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }$$

und aufgrund der Identität $a_{\alpha }=b_{\alpha }+c_{\alpha }$, $\alpha \in A$ sowie der Additivität von Reihen

$$\sum _{\alpha \in A}a_{\alpha }=\sum _{\alpha \in A}b_{\alpha }+\... ...lpha }=\sum _{\alpha \in A_{1}}a_{\alpha }+\sum _{\alpha \in A_{2}}a_{\alpha }.$$

$\blacktriangleleft$