Das Cauchy-Kriterium zur gleichmäßigen Konvergenz von Folgen.

Satz 2.10.1.1   Es sei $P$ eine Menge und $(M,d)$ ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten eine Funktionenfolge $f_{n}:P\to M$, $n\in \mathbb{N}$. Dann existiert eine Abbildung $f:P\to M$, so daß der Grenzwert

$$f(p)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(p) \quad \mbox {gleichmäßig\, bezüglich}\quad p\in P$$ (2.10.1.1)

angenommen wird genau dann, wenn folgende Aussage wahr ist

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }}\forall _{m,n\geq N_{\varepsilon }}\forall _{p\in P}\, d(f_{n}(p),f_{m}(p))<\varepsilon \, .$$ (2.10.1.2)

$\blacktriangleright$ Angenommen (2.10.1.2) gilt. Dann folgt für jedes fixierte $p\in P$ auch $\{f_{n}(p)\}_{n\in \mathbb{N}}\in CF(M)$. Da $M$ vollständig ist, so existieren punktweise die Grenzwerte

$$f(p)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(p)\in M,\quad p\in P.$$

Geht man in der Ungleichung

$$d(f_{n}(p),f_{m}(p))<\varepsilon ,\quad m,n\geq N_{\varepsilon },$$

zum Grenzwert

$$d(f(p),f_{m}(p))=\lim _{n\to \infty }d(f_{n}(p),f_{m}(p))\leq \varepsilon ,\quad p\in P,\quad m\geq N_{\varepsilon },$$

über, so folgt zudem die Gleichmäßigkeit in (2.10.1.1).

Umgekehrt bedeutet (2.10.1.1)

$$\forall _{\varepsilon >0}\exists _{N_{\varepsilon }}\forall _{n\geq N_{\varepsilon }}\forall _{p\in P}\, d(f_{n}(p),f(p))<\varepsilon$$

und damit

$$d(f_{n}(p),f_{m}(p))\leq d(f_{n}(p),f(p))+d(f_{m}(p),f(p))<2\varepsilon$$

für alle $m,n\geq N_{\varepsilon }$. $\blacktriangleleft$