Das Wurzelkriterium in Limesform.

Satz 1.5.3.1   Es sei $a_{k}\geq 0$ für $k\in \mathbb{N}$. Gilt $\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}<1$ , dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Falls hingegen $\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}>1$, dann divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

$\blacktriangleright$ Aus $s=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}<1$ folgt $\sqrt[k]{a_k}<r$ für $s<r<1$ und $k\geq N_{r,s}$. Falls hingegen $\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}>1$, dann existieren unendlich viele $k$ mit $a_k\geq 1$. Damit folgen die Aussagen direkt aus Satz 1.4.2.1. $\blacktriangleleft$