Definition.

Wir betrachten eine Folge $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ reeller oder komplexer Zahlen. Es sei

$$P_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot \dots \cdot a_{n}$$

das Partialprodukt aus den ersten $n$ Gliedern dieser Folge.

Definition 1.8.1.1   Angenommes es gilt $a_{k}\not =0$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Man sagt, daß das unendliche Produkt $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialprodukte einen Grenzwert verschieden von Null besitzt. Dann weist man dem Symbol $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ den Wert

$$\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }P_{n}\neq 0$$

zu.

Besitzt die Folge $\{P_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ keinen Grenzwert, so sagt man, daß $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergiert. Gilt $\lim _{n\to \infty }P_{n}=0$, so sagt man, daß $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}$ bestimmt gegen $0$ divergiert.

Falls $a_{k}=0$ für gewisse $k,$ so bestimmt man, ob das unendliche Produkt ohne diese Nullfaktoren konvergiert. Falls ja, so setzt man $\prod _{k=1}^{\infty }a_{k}=0$. Falls nein, so divergiert das Produkt.